質問＜３２２８＞2006/6/7
from=華
「積分　面積の2等分」

放物線ｙ=a(x-1)^２　（a＞０）が　ｙ＝－（x－１）（x－５）とｘ軸で
囲まれた図形の面積を2等分するような実数aの値を求めよ。

★完全解答希望★

お便り２００６／６／２５
from=ZELDA

y=-(x-5)(x-1)とx軸で囲まれた部分の面積は
(1/6)(5-1)^3・・・(A)

y=-(x-5)(x-1)とy=a(x-1)^2の交点のx座標は
x=1,(a+5)/(a+1)であるから、この２曲線によって囲まれる部分の面積は
(1/6){(a+5)/(a+1)-1}^3・・・(B)

ゆえに、(A),(B)より
(1/2)(1/6)(5-1)^3=(1/6){(a+5)/(a+1)-1}^3
これをa>0に注意して解くと
a=-1+√2