質問＜３１８＞２０００／９／１２
from=瀬能結城
「円と放物線の接線」

いつもお世話になっています。
数学の宿題のプリントなんですがよろしくお願いします。
(1)２円 Ｘ２乗＋Ｙ２乗＝４…① と（Ｘ－５）２乗＋Ｙ２乗＝２５…②
　の共通接線の方程式を求めよ。

(2)円 Ｘ２乗＋Ｙ２乗＝１ と放物線 Ｙ＝Ｘ２乗＋６の共通接線を求めよ。

お返事２０００／９／１３
from=武田

問１

円Ｏの方程式はｘ2 ＋ｙ2 ＝４
円Ａの方程式は（ｘ－５）2 ＋ｙ2 ＝２５
この２円の共通接線Ｌの方程式をｙ＝ａｘ＋ｂとすると、
円Ｏと接線Ｌは接するから、連立方程式からでてくる２次方程式の解は
重解となるので、判別式はＤ＝０より、
ｘ2 ＋（ａｘ＋ｂ）2 ＝４
（１＋ａ2 ）ｘ2 ＋２ａｂｘ＋ｂ2 －４＝０
Ｄ＝４ａ2 ｂ2 －４（１＋ａ2 ）（ｂ2 －４）＝０
４ａ2 ｂ2 －４ｂ2 ＋１６－４ａ2 ｂ2 ＋１６ａ2 ＝０
４ｂ2 ＝１６ａ2 ＋１６
ｂ2 ＝４ａ2 ＋４
∴ｂ＝±２√（ａ2 ＋１）……①
円Ａと接線Ｌも接するから、Ｄ＝０より、
（ｘ－５）2 ＋（ａｘ＋ｂ）2 ＝２５
ｘ2 －１０ｘ＋２５＋ａ2 ｘ2 ＋２ａｂｘ＋ｂ2 －２５＝０
（１＋ａ2 ）ｘ2 ＋（２ａｂ－１０）ｘ＋ｂ2 ＝０
Ｄ＝（２ａｂ－１０）2 －４（１＋ａ2 ）ｂ2 ＝０
４ａ2 ｂ2 －４０ａｂ＋１００－４ｂ2 －４ａ2 ｂ2 ＝０
４ｂ2 ＋４０ａｂ－１００＝０
ｂ2 ＋１０ａｂ－２５＝０……②
②に①を代入して、
４ａ2 ＋４＋１０ａ｛±２√（ａ2 ＋１）｝－２５＝０
±２０ａ√（ａ2 ＋１）＝２１－４ａ2 
両辺を２乗して、
４００ａ2 （ａ2 ＋１）＝４４１－１６８ａ2 ＋１６ａ4 
４００ａ4 ＋４００ａ2 －４４１＋１６８ａ2 －１６ａ4 ＝０
３８４ａ4 ＋５６８ａ2 －４４１＝０
たすきがけで因数分解をすると、
３８４　５６８　－４４１
１６　　＼／　　－９→　－２１６
２４　　／＼　　４９→　　７８４（＋
─────────────────
　　　　　　　　　　　　　５６８
（１６ａ2 －９）（２４ａ2 ＋４９）＝０
（２４ａ2 ＋４９）＞０より、
（１６ａ2 －９）＝０
１６ａ2 ＝９
　　　　９
ａ2 ＝───
　　　１６
　　　　　３
∴ａ＝±───
　　　　　４
①に代入して、
　　　　　　　　　３
∴ｂ＝±２√｛（±─）2 ＋１｝
　　　　　　　　　４
　　　　　　　　９　　　　　　　５　　５
　　＝±２√（──＋１）＝±２・─＝±─
　　　　　　　１６　　　　　　　４　　２
したがって、共通接線Ｌの方程式は２つあって、
　　３　　５　　　　　　　　３　　５
ｙ＝─ｘ＋─　または、ｙ＝－─ｘ－─　……（答）
　　４　　２　　　　　　　　４　　２

問２

共通接線ｙ＝ａｘ＋ｂと円ｘ2 ＋ｙ2 ＝１を連立して、
ｘ2 ＋（ａｘ＋ｂ）2 ＝１
（１＋ａ2 ）ｘ2 ＋２ａｂｘ＋ｂ2 －１＝０
Ｄ＝０より、ｂ＝±√（ａ2 ＋１）……①
共通接線ｙ＝ａｘ＋ｂと放物線ｙ＝ｘ2 ＋６を連立して、
ａｘ＋ｂ＝ｘ2 ＋６
ｘ2 －ａｘ＋６－ｂ＝０
Ｄ＝０より、ａ2 ＝２４－４ｂ……②
②に①を代入して、
ａ2 ＝２４－４｛±√（ａ2 ＋１）｝
±４√（ａ2 ＋１）＝２４－ａ2 
両辺を２乗して、
１６（ａ2 ＋１）＝５７６－４８ａ2 ＋ａ4 
ａ4 －６４ａ2 ＋５６０＝０
たすきがけの因数分解ができないので、解の公式を使って、
ａ2 ＝３２±√４６４＝３２±４√２９
∴ａ＝±√（３２±４√２９）
これを①に代入して、
∴ｂ＝±√（３２±４√２９＋１）＝±√（３３±２√１１６）
　　＝±（√２９±√４）
したがって、
共通接線は４本あり、
ｙ＝±√（３２±４√２９）ｘ±（√２９±√４）　……（答）

ちょっとこれは美しくないので、問題のどこかに間違いがないかな？