質問＜３１７４＞２００６／５／１７
from=なおひ
「大学受験問題（３次方程式）」

ｋを実数の定数、ｉを虚数単位とする、３次方程式

x^3 - (k-1)x^2 + (1-k-ki)x +1-ki=0

が、実数解αと２つの虚数解β、γを持つとする。

（１）αを求めよ
（２）さらに、βが1/β - 1/βi ＞０　を満たすとき、βとγを求めよ。

が解りません。２１日（日）までにどなたか教えていただけないでしょうか？

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／１８
from=ZELDA

(1)明らかに、α=-1

(2)組み立て除法より
与えられた３次方程式方程式は、
(x+1){(x^2)-kx+(1-ki)}=0と変形できる。

したがって、βは
(x^2)-kx+(1-ki)=(x+i){x-(k+i)}=0の解である。

Case1   β=-iのとき
与えられた不等式は　1/β - 1/(βi)  が虚数となるので意味をなさない。
したがって、不適

Case2   β=k+iのとき
1/β - 1/(βi)
={k+1+(k-1)i}/{(k^2)+1} ＞ 0
この不等式が意味をもつ条件はk-1=0であり、このとき、この不等式は、
確かに成立する。
ゆえに、k=1である。
したがって、β=1+iである。