質問＜３１６４＞２００６／５／１３
from=こん
「定積分」

∫〔0,1〕1/(x^3+1)dxの計算過程を教えて下さい。

よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／１４
from=ZELDA

部分分数展開をすると

3/[(x^3)+1]
=1/(x+1)-(1/2)*[(2x-1)/{(x^2)-x+1}]
+(3/2)*[1/{(x^2)-x+1}]　となる。

ゆえに

3∫[0,1] 1/{(x^3)+1}dx
=∫[0,1] 1/(x+1)dx-
(1/2)∫[0,1] (2x-1)/[(x^2)-x+1]dx
+(2/3)∫[0,1] 1/{(x^2)-x+1}dx　である。

とても読みにくくなってしましました。・・・・ごめんなさい。

∫[0,1] 1/(1+x)dx=[log(x+1)][0,1]=log2

∫[0,1] (2x-1)/{(x^2)-x+1}
=[log|(x^2)-x+1|][0,1]=0
・・（この式では絶対値でなくともよいです。なぜなら、(x^2)-x+1≧0であるから。）


∫[0,1] 1/{(x^2)-x+1}dx
x-(1/2)={(√3)/2}tanyと変数変換する。
（この程度で、変数変換というのは、大げさすぎるか？）

∫[y=-pi/6,y=pi/6] {(√3)/2}×[1/{(3/4)(1+(tany)^2)}]×{1/(cosy)^2}dy
=∫[-pi/6,pi/6] dy=(2pi√3)/9

これらの計算結果を用いると
∫[0,1] 1/{(x^3)+1}dx={(log2)/3}+{(pi√3)/9}
である。

ここからは、余計な話ですが、次の不定積分の公式を用いるととても楽です。

∫{(x^3)+(a^3)}^(-1)dx

=[1/{(√3)a^2}]arctan[{2x-a}/{(√3)a}]
+{1/(3a^2)}log(x+a)-{1/(6a^2)}log{(x^2)-ax+(a^2)}
　　　　　　　　　+C　　　　(ただし、Cは積分定数）