質問＜３１５３＞２００６／５／８
from=鰯
「不等式」

(1)任意の実数aに対して、不等式a^4＋b^3≧a^3＋ab^3が成り立つように
　　実数bの値を定めよ。
(2)任意の整数aに対して、不等式a^4＋b^3≧a^3＋ab^3が成り立つように
　　整数bの値を定めよ。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／１６
from=UnderBird

不等式 a^4＋b^3≧a^3＋ab^3 を変形すると、
a^4－a^3－ab^3+b^3≧0
ここで左辺は
a^4－a^3－ab^3+b^3
=a^3(a－1)－b^3(a－1)
=(a^3－b^3)(a－1)
=(a－1)(a－b)(a^2+ab+b^2)
=(a－1)(a－b){(a+b/2)^2+3b^2/4}
であり、任意の実数aにおいて （当然任意の整数aにおいても）
(a+b/2)^2+3b^2/4≧0 が成り立つから、
(1)は結局任意の実数aに対して、(a－1)(a－b)≧0 となる実数bを求めればよい。
    よって、b=1
(2)は同様の議論から、任意の整数aに対して、
　 (a－1)(a－b)≧0 となる整数bを求めればよい。
   この場合、b=－1,0,1　（少々考えてみてください）