質問＜３１０３＞２００６／４／１７
from=歌うたいのバラッド
「整数」

ｘの整数ｆ（ｘ）をｘ＋３で割ると余り１０、
ｘ^２＋３ｘ＋４で割ると余り２５ｘ－３となる。
このときｆ（ｘ）を（ｘ＋３）（ｘ^２＋３ｘ＋４）で割ったときの余りを求めよ

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２０
from=ZELDA

f(x)を(x+3)(x^2+3x+4)で割ったときの商をQ(x)とおく。
余りは、2次以下なので、ax^2+bx+cとおける。
ゆえに、
f(x)=(x+3)(x^2+3x+4)Q(x)+ax^2+bx+c・・・・(1)

(1)よりf(x)をx^2+3x+4で割った余りは、
　ax^2+bx+cをx^2+3x+4で割った余りに等しい。
したがって、ax^2+bx+c=a(x^2+3x+4)+25x-3である。

f(x)=(x+3)(x^2+3x+4)Q(x)+a(x^2+3x+4)+25x-3・・・(2)
ところで、f(x)をx+3で割った余りが10であるから、
f(-3)=10
(2)でx=-3とすると
f(-3)=4a-78
ゆえに、4a-78=10より
a=22
したがって、求める余りは22x^2+91x+85

お便り２００６／４／２０
from=wakky

（ｘ＋３）（ｘ^２＋３ｘ＋４）は３次の整式だから
ｆ（ｘ）を（ｘ＋３）（ｘ^２＋３ｘ＋４）で割ったときの
商をＰ（ｘ）、余りをＱ（ｘ）とすると
Ｑ（ｘ）は２次以下の整式であり
ｆ（ｘ）＝（ｘ＋３）（ｘ^２＋３ｘ＋４）Ｐ（ｘ）＋Ｑ（ｘ）とおける
（ｘ＋３）（ｘ^２＋３ｘ＋４）Ｐ（ｘ）はｘ^２＋３ｘ＋４で割り切れるから
ｆ（ｘ）をｘ^２＋３ｘ＋４で割った余りは
Ｑ（ｘ）をｘ^２＋３ｘ＋４で割った余りに等しい
したがって、
Ｑ（ｘ）＝ａ（ｘ^２＋３ｘ＋４）＋２５ｘ－３　とおける
すなわち
ｆ（ｘ）＝（ｘ＋３）（ｘ^２＋３ｘ＋４）Ｐ（ｘ）
　　　　　　　　　＋ａ（ｘ^２＋３ｘ＋４）＋２５ｘ－３・・・①
ｆ（ｘ）をｘ＋３で割った余りは１０だから
ｆ（－３）＝１０
①より
ａ（９－９＋４）－７５－３＝１０
∴ａ＝２２
したがって
Ｑ（ｘ）＝２２（ｘ^２＋３ｘ＋４）＋２５ｘ－３
　　　　＝２２ｘ^2＋９１ｘ＋８５・・・（答）