質問＜３０８＞２０００／８／２７
from=Toshimitsu Uehara
「２次不等式」

問１
次の不等式が、指定された範囲内において、常に成り立つうに、定数ｍ
の値の範囲をそれぞれ定めよ。
（１）ｘ二乗―２ｘ+ｍ≧０
　　　　（ア）－２≦ｘ≦０　　（イ）０≦ｘ≦３　　（ウ）ｘ≧０
（２） ｘ二乗+２ｍｘ+１≧０
　　　　（ア）０≦ｘ≦２

問２
（１）ａは定数とする。 不等号ｘ二乗―４ａｘ+３ａ二乗＜０を解け
（２）不等号ｘ二乗+９ｘ+1８＜０を満たすすべてのｘが、
　　　不等式ｘ二乗―４ａｘ+３ａ二乗＜０を満たすように、
　　　定数ａの値の範囲を定めよ。

お返事２０００／８／２９
from=武田

問１（１）
ｘ2 －２ｘ＋ｍ≧０……①
ｙ＝ｘ2 －２ｘ＋ｍとおいて、平方完成して頂点を求めると、
ｙ＝（ｘ－１）2 ＋（ｍ－１）
したがって、頂点（１，ｍ－１）

図より
（ア）－２≦ｘ≦０の範囲で①の不等式が成り立つのは、放物線Ａより
　　　上の放物線のときだから、ｍ－１≧－１∴ｍ≧０……（答）
（イ）０≦ｘ≦３の範囲で①の不等式が成り立つのは、放物線Ｂより上
　　　の放物線のときだから、ｍ－１≧０∴ｍ≧１……（答）
（ウ）ｘ≧０の範囲で①の不等式が成り立つのは、放物線Ｂより上の放
　　　物線のときだから、ｍ－１≧０∴ｍ≧１……（答）

問１（２）
ｘ2 ＋２ｍｘ＋１≧０……②
ｙ＝ｘ2 ＋２ｍｘ＋１とおいて、平方完成して頂点を求めると、
ｙ＝（ｘ＋ｍ）2 ＋（１－ｍ2 ）
したがって、頂点（－ｍ，１－ｍ2 ）
図より
（ア）０≦ｘ≦２の範囲で②の不等式が成り立つのは、頂点のｘ座標が
　　　どこにあるかで決まるので、次の３つの場合に分けて調べてみる。
　　　　(ａ)－ｍ≦０のとき、放物線Ａのようにｙ切片１の下に凸の放物
　　　　　　線となるので、②は成り立つ。∴ｍ≧０
　　　　(ｂ)０＜－ｍ≦２のとき、放物線Ｂのようなもののうち、ｘ軸と
　　　　　　交わるもの以外だから、方程式ｘ2 ＋２ｍｘ＋１＝０の判別式
　　　　　　Ｄ≦０となる。
　　　　　　Ｄ＝４ｍ2 －４≦０
　　　　　　４（ｍ－１）（ｍ＋１）≦０より、－１≦ｍ≦１
　　　　　　－２≦ｍ＜０との共通部分だから、∴－１≦ｍ＜０
　　　　(ｃ)２＜－ｍのとき、放物線Ｃのようなものは、方程式ｘ2 ＋２ｍｘ＋１＝０
　　　　　　の解の小さい方が２より右にあるはずだから、
　　　　　　２≦（１／２）｛－２ｍ－√（４ｍ2 －４）｝
　　　　　　４≦－２ｍ－√（４ｍ2 －４）
　　　　　　４＋２ｍ≦－√（４ｍ2 －４）
　　　　　　－４－２ｍ≧√（４ｍ2 －４）
　　　　　　両辺を２乗して、
　　　　　　１６＋１６ｍ＋４ｍ2 ≧４ｍ2 －４
　　　　　　１６ｍ＋２０≧０　したがって、ｍ≧－２０／１６＝－５／４
　　　　　　ｍ＜－２との共通部分だから、∴該当なし
　　　したがって、(ａ)(ｂ)(ｃ)より、ｍ≧－１……（答）

問２（１）
ｘ2 －４ａｘ＋３ａ2 ＜０を因数分解して、
（ｘ－３ａ）（ｘ－ａ）＜０
　　　(ａ)ａ＜０のとき、３ａ＜ａより、３ａ＜ｘ＜ａ……（答）
　　　(ｂ)ａ＝０のとき、ｘ2 ＜０より、ｘは解なし……（答）
　　　(ｃ)ａ＞０のとき、ａ＜３ａより、ａ＜ｘ＜３ａ……（答）

問２（２）
ｘ2 ＋９ｘ＋１８＜０を解くと、
（ｘ＋３）（ｘ＋６）＜０
－６＜ｘ＜－３……①
ｘ2 －４ａｘ＋３ａ2 ＜０の解は上のように場合分けするから、

　　　(ａ)ａ＜０のとき、３ａ＜ｘ＜ａは必要条件だから、
　　　　　－６＜ｘ＜－３を覆う範囲をとるから、
　　　　　３ａ≦－６かつ－３≦ａ＜０
　　　　　∴－３≦ａ≦－２
　　　(ｂ)ａ＝０のとき、なし
　　　(ｃ)ａ＞０のとき、－６＜ｘ＜－３と、ａ＜ｘ＜３ａは重ならな
　　　　　いから、なし
したがって、(ａ)(ｂ)(ｃ)より、－３≦ａ≦－２……（答）