質問＜３０６＞２０００／８／２５
from=Tetsu
「証明の問題」

問１
a≠ｂ≠ｃ≠a,a^3+2a=b^3+2b=c^3+2cのとき
a+b+c=0,ab+bc+ca=2であることを証明せよ。

問２
p,qは、p+q=1(0≦ｐ≦1)をみたしている。
関数ｆ(ｘ)＝ｘ＾２について、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
f(px+qy)≦p・f(x)+q・ｆ(y)

おねがいします。

お返事２０００／８／２７
from=武田

問１
ｘ3 ＋２ｘ＝０の３解をａ，ｂ，ｃ（ａ≠ｂ≠ｃ）とすると、
（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）＝０
ｘ3 －（ａ＋ｂ＋ｃ）ｘ2 ＋（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）ｘ－ａｂｃ＝０
係数を比べて、
ａ＋ｂ＋ｃ＝０、ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝２　……（答）

問２

ｚ＝ｐｘ＋ｑｙとおくと、ｐ＋ｑ＝１（０≦ｐ≦１）より、
　　ｐｘ＋ｑｙ
ｚ＝─────　と書ける。
　　　ｑ＋ｐ
したがって、ｘｙ間をｑ：ｐに内分する点にｚがある。
これは、関数ｆ（ｘ）＝ｘ2 より、ｆ（ｚ）＝ｆ（ｐｘ＋ｑｙ）となる。

比例関係より、ｆ（ｘ）とｆ（ｙ）間もｑ：ｐに内分する点ができる。
これをａとすると、
　　ｐ・ｆ（ｘ）＋ｑ・ｆ（ｙ）
ａ＝─────────────＝ｐ・ｆ（ｘ）＋ｑ・ｆ（ｙ）
　　　　　　ｑ＋ｐ

関数ｆ（ｘ）＝ｘ2 は下に凸なので、図より
ａ≧ｆ（ｚ）
となる。（等号はｐ＝０または１のとき）
したがって、
ｆ（ｐｘ＋ｑｙ）≦ｐ・ｆ（ｘ）＋ｑ・ｆ（ｙ）　……（答）