質問＜２９９９＞２００６／２／２８
from=るん
「微分」

いつもお世話になっております。以下の問題をお願いいたします。

「任意のn∈Nに対し
　lim[x→+∞](x^n/e^x)=0
　が成り立つことを示せ。」

よろしくお願いいたします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／１３
from=wakky

いろいろ考えましたが
これはロピタルの定理しかないのかもしれません
ｘ^n／ｅ^xの分母と分子の微分を繰り返すと
与式＝ｌｉｍ(x→∞) ｎ！／ｅ^x＝０

お便り２００６／３／１５
from=angel

x^n/e^x を、1/xの定数倍程度で見積もりましょう。
色々下準備が必要…。
よくある話ですが、解答の順序と、考えた事の順序は真逆です。

任意の正の実数 p, 任意の自然数 m に対して、
1+mp ≦ (1+p)^m が帰納的に成立する。

実際、
　m=1 の時、1+mp=1+p=(1+p)^m
　m=k の時、1+kp≦(1+p)^k が成立したとすると、
　　(1+p)^(k+1)-(1+(k+1)p)
　　= (1+p)(1+p)^k - (1+kp) - p
　　= ((1+p)^k-(1+kp)) + p((1+p)^k-1) ≧ 0
　　これは、m=k+1の時も成立することを示す。

α=e^(1/(n+1))-1 ＞0, β=1/α ＞0 と置く時、
任意の自然数 m に対して、
m ＜ m+β = αβm+β = β(1+mα) ≦ β(1+α)^m

よって、
m ＜ β(1+α)^m = 1/α・(1+α)^m = 1/α・(e^(1/(n+1)))^m
両辺を n+1 乗して、
m^(n+1) ＜ 1/α^(n+1)・e^m
よって、
m^n/e^m ＜ 1/(mα^(n+1))

ところで、f(x)=x^n/e^x と置く時、
f'(x)=nx^(n-1)・e^(-x) - x^n・e^(-x)
　　 = x^(n-1)・e^(-x)・( n - x )

よって、x＞n においては f'(x)＜0、f(x) は単調減少、

　x＞n⇒ 0＜f(x)＜f([x])＜ 1/([x]α^(n+1)) ＜ 1/((x-1)α^(n+1))
　( [x]は、xを超えない最大の整数を表す )
　この不等式の右辺・左辺ともに、x→+∞の時に 0に収束する。
　よって、lim[x→+∞] f(x) = 0