質問＜２９５２＞２００６／２／１４
from=五十路
「図形の面積比について」

△ＡＢＣの内部に点Ｋをとる。ＡＫの延長とＢＣの交点、
ＢＫの延長とＣＡの交点、ＣＫの延長とＡＢの交点を
それぞれＰ，Ｑ，Ｒとしたとき、ＢＰ：ＰＣ＝１：２、
ＣＱ：ＱＡ＝３：１の時
①ＡＲ：ＲＢを求めよ。
②面積比△ＱＣＫ:△ＰＣＫを求めよ。

ＡＲ：ＲＢはチェバの定理より２：３と求めたのですが
②の面積比がどうしてもわかりません。教えて下さい。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／１６
from=angel

△BCQを元に考える

△QCK = △BCQ×KQ/(KB+KQ)
△BCK = △BCQ×KB/(KB+KQ)
△PCK = △BCK×PC/(PB+PC) = △BCQ×KB/(KB+KQ)×PC/(PB+PC)

ゆえに
△QCK : △PCK
= KQ/(KB+KQ) : KB/(KB+KQ)×PC/(PB+PC)
= KQ×(PB+PC) : KB×PC

さて、KB:KQ はメネラウスの定理から。

B→K→Q、Q→A→C、C→P→B の周回経路で考えると
　KB/KQ × AQ/AC × PC/PB = 1
　BP:PC=1:2 より PC/PB=2
　CQ:QA=3:1 より AQ/AC=AQ/(AQ+QC)=1/4
　よって、KB/KQ=2、KB:KQ=2:1

結局
△QCK : △PCK
= KQ×(PB+PC) : KB×PC
= 1×(1+2) : 2×2
= 3:4 …(答え)

お便り２００６／２／１６
from=／で

２）
△ＱＣＫと△ＡＣＫにおいて、高さがＫからＡＣに下ろした垂線の長さで共通し、
底辺の比がＡＱ：ＱＣ＝１：３より、３：４なので、

　　　△ＱＣＫ＝(3/4)△ＡＣＫ　・・・・・・・・（１）

△ＢＣＱにおいて、メネラウスの定理より
　（ＣＡ／ＡＱ）・（ＱＫ／ＫＢ）・（ＢＰ／ＰＣ）＝１
ＡＱ／ＱＣ＝１／３よりＣＡ／ＡＱ＝４、ＢＰ／ＰＣ＝１／２　より
　　∴　ＱＫ／ＫＢ＝１／２

△ＡＣＫと△ＡＢＣにおいて、底辺がＡＣで共通、
高さの比がＱＫ：ＫＢ＝１：２より１：３なので、

　　　△ＡＣＫ＝(1/3)△ＡＢＣ　・・・・・・・・（２）

(1),(2)より、
　　　△ＱＣＫ＝(1/4)△ＡＢＣ　・・・・・・・・（３）

次に、△ＰＣＫと△ＢＣＫにおいて、高さがＫからＢＣに下ろした垂線の長さで共通、
底辺の比がＢＰ：ＰＣ＝１：２より２：３なので、

　　　△ＰＣＫ＝(2/3)△ＢＣＫ　・・・・・・・・（４）

△ＡＢＰにおいて、メネラウスの定理より
　（ＢＣ／ＣＰ）・（ＰＫ／ＫＡ）・（ＡＲ／ＲＢ）＝１
ＢＰ／ＰＣ＝１／２よりＢＣ／ＣＰ＝３／２、
（設問１より）ＡＲ／ＲＢ＝２／３なので
　　∴　ＰＫ／ＫＡ＝１
よって、△ＢＣＫは、△ＡＢＣと底辺がＢＣで共通し、高さが１／２なので、

　　　△ＢＣＫ＝(1/2)△ＡＢＣ　・・・・・・・・（５）

(4)、(5)より
　　　△ＰＣＫ＝(1/3)△ＡＢＣ　・・・・・・・・（６）

(3),(6)より
　　　△ＱＣＫ：△ＰＣＫ＝(1/4)△ＡＢＣ：(1/3)△ＡＢＣ

　　　　　　　　　　　　＝３：４　　　　　　（終り）