質問＜２８９＞２０００／７／２６
from=上田保治
「整数など」

高校１年生の「ぷりん」です。これからは、たくさん質問させて頂こう
と思っています。
ホームページにあった返事がとても丁寧で感激しました。
よろしくおねがいします。
 
質問①
方程式 X二乗－３XY＋２Y二乗＋４＝０を満たす正の整数の組（X,Y）
を求めよ。
質問②
Ｌ、Ｍを０以上の整数とするとき４Ｌ＋５Ｍ＝１０００となるような
（Ｌ、Ｍ）の組は何通りあるか。
質問③
Ｎ＋３２
―――― が整数となる正の整数Ｎはいくつあるか。
Ｎ＋２
質問④
連続する４つの自然数の積は２４で割り切れることを示せ。
質問⑤
Ｘの３次方程式 Ｘ三乗－Ｘ二乗＋（ａ－６）Ｘ－３ａ＝０が異なる
２つの虚数解を持つとき実数ａの値の範囲を求めよ。
またこのとき虚数解の和を求めよ。
質問⑥
次の計算をせよ。（ルート３は【√３￣】と表す。）
（１）
（√３￣－２ ｉ）二乗
（―――――― ）
（２＋√３￣ i　）
（３つ縦に並んでいるかっこは１つの大きなかっこを表す。） 
（２）
｜√３￣－ ｉ｜
｜―――――｜
｜　　２　　｜
（縦線は絶対値記号を表す。） 

お返事２０００／７／２８～８／９
from=武田

問１
ｘ2 －３ｘｙ＋２ｙ2 ＋４＝０
ｘについて降べきの順に並べて、
ｘ2 －３ｙ・ｘ＋（２ｙ2 ＋４）＝０
判別式より、
Ｄ＝（－３ｙ）2 －４（２ｙ2 ＋４）
　＝９ｙ2 －８ｙ2 －１６
　＝ｙ2 －１６
ｘが整数になるには、判別式（つまり、解の公式の√の中）が０または
平方数になることが必要だから、ａ2 とおくと、
ｙ2 －１６＝ａ2 
ｙ2 ＝ａ2 ＋４2 
三平方の定理のうち、４関連はａ＝３、ｙ＝５（正の整数）しかない。
ｙ2 －１６＝０の場合は、ｙ＝４（正の整数）
①ｙ＝５のとき、
　ｘ2 －１５ｘ＋５４＝０
　（ｘ－６）（ｘ－９）＝０
　∴ｘ＝６，９
②ｙ＝４のとき、
　ｘ2 －１２ｘ＋３６＝０
　（ｘ－６）2 ＝０
　∴ｘ＝６
①と②より、
｛ｘ＝６または、｛ｘ＝９または、｛ｘ＝６　……（答）
｛ｙ＝５　　　　｛ｙ＝５　　　　｛ｙ＝４

問２
４Ｌ＋５Ｍ＝１０００
４Ｌ＝１０００－５Ｍ
　　＝５（２００－Ｍ）
Ｌは５の倍数より、またＬ、Ｍは０以上の整数だから、
（Ｌ，Ｍ）＝（０，２００）（５，１９６）（１０，１９２）
　　　　　　…………（２５０，０）
したがって、
２５０÷５＋１＝５１通り……（答）

問３
Ｎ＋３２　　　　３０
────＝１＋───
Ｎ＋２　　　　Ｎ＋２

左辺が整数となるのは、３０を（Ｎ＋２）で割り切れる必要があるから、
素因数分解３０＝２×３×５より、
Ｎ＋２＝２　　　　　Ｎ＝　０　ダメ
Ｎ＋２＝３　　　　　Ｎ＝　１（正の整数）
Ｎ＋２＝５　　　　　Ｎ＝　３（正の整数）
Ｎ＋２＝２×３　　　Ｎ＝　４（正の整数）
Ｎ＋２＝２×５　　　Ｎ＝　８（正の整数）
Ｎ＋２＝３×５　　　Ｎ＝１３（正の整数）
Ｎ＋２＝２×３×５　Ｎ＝２８（正の整数）
したがって、
６個……（答）

問４
連続する２数の積　ｎ（ｎ＋１）は１×２＝２で割り切れる。
連続する３数の積　ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）は１×２×３＝６で割り切れる。
したがって、
連続する４数の積　ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）は
１×２×３×４＝２４で割り切れる。
しかし、これを証明するのはどうやるのだろうか？

※今売れている受験参考書シリーズの「細野真宏の『整数とωの問題』が面白
いほどわかる本Version2.0」（中経出版、１１００円）を買って調べたところ、
載っていました。この本結構面白い。本当に偏差値が３０から７０に上がるの
だろうか？
証明のコツは組み合わせの公式を使うところにある。
　　　　ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）……（ｎ－ｒ＋１）
n Ｃr ＝─────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　　ｒ！
ｒ＝４のとき、
　　　　ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）
n Ｃ4 ＝────────────────
　　　　　　　　　　４！
組み合わせの値は、すべて整数になるので、
４つの連続する自然数の積ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）は４！の倍数と
なる。つまり、４！＝４・３・２・１＝２４の倍数となる。……（答）

問５
ｘ3 －ｘ2 ＋（ａ－６）ｘ－３ａ＝０
組立除法より
１　－１　（ａ－６）　－３ａ　｜＿３
　　　３　　　　６　　　３ａ
──────────────────
１　　２　　ａ　　　｜　　０

実数解はｘ＝３
ｘ2 ＋２ｘ＋ａ＝０
判別式より、虚数解をもつには
Ｄ＝４－４ａ＜０
ａ＞１……（答）
２虚数解α、βの和α＋β＝－２……（答）

問６（１）
（　√３－２ｉ　）2 　３－４√３ｉ－４　－１－４√３ｉ
（　─────　）　＝────────＝───────
（　２＋√３ｉ　）　　４＋４√３ｉ－３　１＋４√３ｉ
有理化して、
　（－１－４√３ｉ）（１－４√３ｉ）　－４８－１　－４９
＝─────────────────＝─────＝───＝－１……（答）
　　　　　　　１＋４８　　　　　　　　　４９　　　　４９

問６（２）
｜√３－ｉ｜
｜────｜は複素数の大きさ（原点からの距離）だから、
｜　　２　｜

｜√３－ｉ｜　　　　√３　　　　　１
｜────｜＝√｛（──）2 ＋（－─）2 ｝
｜　　２　｜　　　　　２　　　　　２

＝１……（答）