質問＜２８８９＞２００６／１／２８
from=３０７２
「自然数の証明」

任意の自然数について次の式が成り立つことを証明せよ。
（１）a＜b＋１なら、a≦b
 (２）a≧b、c＞dなら、ac＞bd
 (３）２ｘ＾a＞a
数学が苦手でよくわかりません。よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／３０
from=wakky

（１）（２）は自明ですけど、一応やってみました。

（１）
ａ＜ｂ＋１より
ａ＋ｋ＝ｂ＋１（ｋ＝１，２，３，・・・）
を満たすｋが存在します。
ａ＝ｂ＋１－ｋ≦ｂ＋１－１＝ｂ　∵ｋ≧１

（２）
同じ要領で
ａ≧ｂより
ａ＝ｂ＋ｎ（ｎ＝０，１，２・・・）
を満たすｎが存在します。
ｃ＞ｄより
ｃ＝ｄ＋ｍ（ｍ＝１，２．３・・・）
を満たすｍが存在します。
ａｃ＝（ｂ＋ｎ）（ｄ＋ｍ）
　　＝ｂｄ＋ｂｍ＋ｄｎ＋ｎｍ
　　＞ｂｄ
∵ｂｍ≧１，ｄｎ≧０，ｍｎ≧０

（３）
ｘ，ａともに自然数でいいのですか？
問題が間違っていませんか？
ｘ＝１，ａ＝１０とすると
左辺＝２・１^10＝２
右辺＝１０
となり、この不等式は成り立ちません。

お便り２００６／１／３０
from=３０７２

左辺は２のa乗のことです。
間違えて記述してしまったみたいで、すいません。

お便り２００６／２／１
from=wakky

（３）
ａが自然数のとき
２^a＞ａ　であることを示せ。
という問題ですね。

これは数学的帰納法がいいのではないでしょうか

ａ＝１のとき
左辺＝２　右辺＝１より不等式は成り立つ。

ａ＝ｋのとき不等式が成り立つと仮定すると
すなわち　２^k＞ｋ　が成り立つと仮定
２^(k+1)＝２・２^k＞２ｋ＝ｋ＋ｋ≧ｋ＋１
よって
ａ＝ｋ＋１　のときにも不等式は成り立つ

以上から、すべての自然数ａに対して、不等式は成り立つ。