質問

２つの正の整数の和が７５で、最小公倍数は２８０である。
この２数を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／１５
from=C.A.

35 と 40 ですな。

お便り２００６／１／１６
from=UnderBird

２つの整数Ａ，Ｂの最小公倍数をＧ、最大公約数をＬとすると、
Ａ＝ａＧ，Ｂ＝ｂＧ，（ただし、ａ，ｂは互いに素）また、Ｌ＝ａｂＧ
が成り立つ。
よって、ａＧ＋ｂＧ＝７５
　　　　ａｂＧ＝２８０　　　が成り立つから、
Ｇは７５と２８０の公約数である。
 75=3*5*5 , 280=2*2*2*5*7よりＧの候補は１か５
Ｇ＝１のとき、ａとｂの和が７５、積が２８０だから
　　　　　　t^2-75t+280=0を解いて
            ｔ=(75±√4505)/2、整数でないから不適
Ｇ＝５のとき、ａとｂの和が１５、積が５６だから
　　　　　　t^2-15t+56=0を解いて
             t=7,8
以上より求める２数は、３５と４０

お便り２００６／１／１６
from=wakky

求める２数をＡ，Ｂ（Ａ＞Ｂ）とします。
ＡとＢの最大公約数をＧとすると
Ａ＝ａＧ，Ｂ＝ｂＧ　ただし、ａ，ｂは互いに素な正数
と表すことができます。
ＡとＢの最小公倍数をＬ（＝２８０）とすると
Ｌ＝ａｂＧ＝２８０・・①
ＡとＢの和が７５だから
Ａ＋Ｂ＝（ａ＋ｂ）Ｇ＝７５・・②
ａとｂは互いに素だから
ａｂとａ＋ｂも互いに素
よって、Ｇは２８０と７５の最大公約数
ゆえに　Ｇ＝５
従って
ａ＋ｂ＝１５，ａｂ＝５６となり
（ａ，ｂ）＝（８，７）
よって
Ａ＝８×５＝４０
Ｂ＝７×５＝３５
求める２数は、４０と３５・・・（答）