質問＜２８５＞２０００／７／１５
from=北mori
「積分演習」

いま学校で積分演習をやっているのですがいまいちよくわかりません。
三問ほどですがおねがいします

一問目
数列{Cn}を次の式で定める。
Cn=(n+1)∫0から1 (x^n・cosπx・dx)(n=1,2,,,,)
このとき次の問いに答えよ

(1)CnとCn+2 の関係を求めよ

(2)Lim n→∞　Cn を求めよ

(3) (2)で求めた極大値をcとするとき
Lim n→∞　(Cn+1-C/Cn-C)を求めよ


二問め
nは自然数とし、An=(1+1/2+1/3+、、、+1/n)-logn
とおく。y=1/x(x>0)のグラフと∫1/x・dx を考えることにより、数列
　A1,A2,A3,,,,,,,An,,,,,の性質を調べる

(1)An>1/n(n≧2)を示せ

(2)An>An+1 を示せ

(3) y=1/x (x>0) のグラフが下に凸であることを用いて
1/2(1/n + 1/n+1)>log(n+1)-logn を示せ

(4) An>(1/2 + 1/2n) (n≧2)を示せ

最終問題
次を示せ

(1)log(n+1)＜1 +　1/2 +　1/3 、、、+1/n (n=1,2,3,,)

(2)Lim n→∞　{1/logn ・Σ　k=1～n (1/K)}=1

(3)Lim n→∞　{1/logn・∫1～n+1(|sinπx/x|dx)}
　=∫0～1 (sinπy・dy)=2/π

お返事２０００／７／１７～２５
from=武田

問１
（１）
Ｃn ＝（ｎ＋１）∫0 1 （ｘn ｃｏｓπｘ）ｄｘ
　　　　　　　　　　ｘn+1 　　　　　　　　　　　　ｘn+1 
　　＝（ｎ＋１）｛［───ｃｏｓπｘ］0 1 －∫0 1 ───（－πｓｉｎπｘ）ｄｘ｝
　　　　　　　　　　ｎ＋１　　　　　　　　　　　ｎ＋１

　　　　　　　　　　　１　　　　　π
　　＝（ｎ＋１）｛－───－０＋───∫0 1 （ｘn+1 ｓｉｎπｘ）ｄｘ｝
　　　　　　　　　　ｎ＋１　　　ｎ＋１

　　　　　　　　　ｘn+2 　　　　　　　　　　　　ｘn+2 
　　＝－１＋π｛［───ｓｉｎπｘ］0 1 －∫0 1 ───（πｃｏｓπｘ）ｄｘ｝
　　　　　　　　　ｎ＋２　　　　　　　　　　　ｎ＋２

　　　　　　　　　　　　　π
　　＝－１＋π｛０－０－───∫0 1 （ｘn+2 ｃｏｓπｘ）ｄｘ｝
　　　　　　　　　　　　ｎ＋２

　　　　　　　π2 　ｎ＋３
　　＝－１－───・───∫0 1 （ｘn+2 ｃｏｓπｘ）ｄｘ｝
　　　　　　ｎ＋２　ｎ＋３

　　　　　　　　π2 
　　＝－１－─────・Ｃn+2 ……（答）
　　　　　　(n+2)(n+3)

（２）
　　　　　　　　π2 
Ｃn ＝－１－─────・Ｃn+2 
　　　　　　(n+2)(n+3)

　　　　　　　　π2 　　　　　　　π2 
　　＝－１－─────｛－１－──────・Ｃn+4 ｝
　　　　　　(n+2)(n+3)　　　　(n+4)(n+5)

　　　　　　　　π2 　　　　　π4 　　　　　　　　　　　π2 
　　＝－１＋─────＋───────────｛－１－─────・Ｃn+6 ｝
　　　　　　(n+2)(n+3)　(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)　　　　(n+6)(n+7)

　　　　　　　　π2 　　　　　π4 
　　＝－１＋─────－───────────－……
　　　　　　(n+2)(n+3)　(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)


ｌｉｍ　Ｃn ＝－１　……（答）
ｎ→∞
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　π2 
（３）　　　　　　　　　　　　　　－１－──────・Ｃn+3 －（－１）
　　　　　Ｃn+1 －ｃ　　　　　　　　　　(n+3)(n+4)
ｌｉｍ　────────＝ｌｉｍ　────────────────
ｎ→∞　　　Ｃn －ｃ　　　ｎ→∞　　　　　　π2 
　　　　　　　　　　　　　　　　　－１－─────・Ｃn+2 －（－１）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(n+2)(n+3)

　　　　　（ｎ＋２）Ｃn+3 
＝ｌｉｍ　─────────
　ｎ→∞　（ｎ＋４）Ｃn+2 

　　　　　（１＋２／ｎ）Ｃn+3 
＝ｌｉｍ　──────────
　ｎ→∞　（１＋４／ｎ）Ｃn+2 

　（１＋０）・（－１）
＝──────────＝１……（答）
　（１＋０）・（－１）

問２（１）
nは自然数とし、An=(1+1/2+1/3+、、、+1/n)-logn
とおく。An>1/n(n≧2)を示せ。

図より、長方形の面積の和は黄色の積分の面積より大きいので、
n-1　　１　　　　　n　　１
Σ　（──×１）＞∫　───ｄｘ
k=1　　ｋ　　　　　1　　ｘ

　　１　１　　　　１　　　　　　　　　n
１＋─＋─＋……＋──＞［ｌｏｇ｜ｘ｜］
　　２　３　　　　n-1　　　　　　　　　1

　　１　１　　　　　１　　１　　　　　　　１
１＋─＋─＋……＋──＋──＞ｌｏｇｎ＋──
　　２　３　　　　n-1　　ｎ　　　　　　　ｎ

　　　１
Ａn＞──　……（答）
　　　ｎ

問２（２）
An>An+1 を示せ。

Ｐ＝Ａn－Ａn+1とおくと、


Ｐ＝｛（1+……+1/n）－log n｝－｛（1+……+1/(n+1)）－log(n+1)｝
　＝－1/(n+1)＋log(n+1)－log n
　＝ｌｏｇ｛（ｎ＋１）／ｎ｝－１／（ｎ＋１）
　＝ｌｏｇ（１＋１／ｎ）－（1/n）／（１＋1/n）

1/n＝ｘとおいて、関数化して、
　　　　　　　　　　　　　　　ｘ
ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ（１＋ｘ）－───
　　　　　　　　　　　　　　１＋ｘ
微分して、
　　　　　　　１　　(1+x)-x
ｆ′（ｘ）＝───－────
　　　　　　１＋ｘ　(1+x)2 

　　　　　　１＋ｘ－１　　ｘ
　　　　　＝─────＝────
　　　　　　　(1+x)2 　　(1+x)2 
ｎ≧１より、０＜１／ｎ≦１
０＜ｘ≦１において、
ｆ（０）＝０、ｆ′（０＜ｘ≦１）＞０より、ｆ（ｘ）＞０
　　　　　　　　　　　　　　　ｘ
ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ（１＋ｘ）－───＞０
　　　　　　　　　　　　　　１＋ｘ

　　　　ｎ＋１　　　１
ｌｏｇ（───）－───＞０
　　　　　ｎ　　　ｎ＋１

Ｐ＞０
したがって、Ａn－Ａn+1＞０
∴Ａn＞Ａn+1　……（答）

問２（３）
 y=1/x (x>0) のグラフが下に凸であることを用いて
1/2(1/n + 1/n+1)>log(n+1)-logn を示せ。

台形ＡＢＣＤの面積は積分の面積より大きいから、
台形の面積＝（上底＋下底）×高さ÷２より、
　１　　１　　　　　　　　n+1　１
（─＋───）×１÷２＞∫　　──ｄｘ
　ｎ　ｎ＋１　　　　　　　n　　ｘ
したがって、
１　１　　１
─（─＋───）＞ｌｏｇ（ｎ＋１）－ｌｏｇｎ　……（答）
２　ｎ　ｎ＋１

問２（４）
 An>(1/2 + 1/2n) (n≧2)を示せ。
前の式にｎ＝１から順に代入し、総和を求めると、
　　　　　　１　１　１
ｎ＝１　　　─（─＋─）＞ｌｏｇ２－ｌｏｇ１
　　　　　　２　１　２

　　　　　　１　１　１
ｎ＝２　　　─（─＋─）＞ｌｏｇ３－ｌｏｇ２
　　　　　　２　２　３

　　　　　　１　１　１
ｎ＝３　　　─（─＋─）＞ｌｏｇ４－ｌｏｇ３
　　　　　　２　３　４
……
　　　　　　１　　１　　１
ｎ＝ｎ－１　─（───＋─）＞ｌｏｇｎ－ｌｏｇ（ｎ－１）
　　　　　　２　ｎ－１　ｎ　　　　　　　　　　　　　　　　（＋
──────────────────────────────
１　　　１　１　　　　　１　　１　１　　　　１
─（１＋─＋─＋……＋───＋─＋─＋……＋─）＞ｌｏｇｎ－ｌｏｇ１
２　　　２　３　　　　ｎ－１　２　３　　　　ｎ

１　　　　　１　１　　　　１　　　　１
─｛２（１＋─＋─＋……＋─）－１－─｝＞ｌｏｇｎ
２　　　　　２　３　　　　ｎ　　　　ｎ

　　　１　１　　　　１　　　　　　　１　　　１
（１＋─＋─＋……＋─）－ｌｏｇｎ＞─（１＋─）
　　　２　３　　　　ｎ　　　　　　　２　　　ｎ
　　　　１　　　１
∴Ａn＞──＋───　……（答）
　　　　２　　２ｎ

問３（１）
log(n+1)＜1 +　1/2 +　1/3 、、、+1/n (n=1,2,3,,)を示せ。

長方形の１からｎ＋１までの面積の和は積分の面積より大きいから、
n　　１　　　n+1　１
Σ　──　＞∫　───ｄｘ
k=1　ｋ　　　1　　ｘ
したがって、
　　１　１　　　　１
１＋─＋─＋……＋─　＞　ｌｏｇ（ｎ＋１）……（答）
　　２　３　　　　ｎ

問３（２）
Lim n→∞　{1/logn ・Σ　k=1～n (1/K)}=1を示せ。

公式
　　　　　　　　　　　１　１　　　　１
ｌｏｇ（ｎ＋１）＜１＋─＋─＋……＋─＜ｌｏｇｎ　＋１
　　　　　　　　　　　２　３　　　　ｎ

ｌｏｇ（ｎ＋１）　　　１　　n　　１　　　ｌｏｇｎ　＋１
────────＜────　Σ　──　＜────────
　ｌｏｇｎ　　　　ｌｏｇｎ　k=1　ｋ　　　　　ｌｏｇｎ
ロピタルの定理より、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　　　　　　　　───
　　　ｌｏｇ（ｎ＋１）　　　　　　ｎ＋１　　　　　　　　ｎ
ｌｉｍ────────＝ｌｉｍ───────＝ｌｉｍ　───
ｎ→∞　　ｌｏｇｎ　　　ｎ→∞　　　１　　　　ｎ→∞　ｎ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　　　────
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ
　　　　　　　１　　　　１
＝ｌｉｍ　─────＝───＝１……①
　ｎ→∞　１＋１／ｎ　１＋０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　　　　　　　　───
　　　ｌｏｇｎ　＋１　　　　　　　　ｎ
ｌｉｍ────────＝ｌｉｍ───────＝ｌｉｍ　１＝１……②
ｎ→∞　　ｌｏｇｎ　　　ｎ→∞　　　１　　　　ｎ→∞
　　　　　　　　　　　　　　　　　────
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ
①と②より、挟み込み法により、
　　　　　　１　　n　　１
ｌｉｍ　────　Σ　──　＝１……（答）
ｎ→∞　ｌｏｇｎ　k=1　ｋ

問３（３）
Lim n→∞　{1/logn・∫1～n+1(|sinπx/x|dx)}
　　　　=∫0～1 (sinπy・dy)=2/πを示せ。
これだけは流石に分かりませんでした。
未解決問題のコーナーに移させてもらいましたところ、
マスマニアさんから有り難い解答を頂きました。感謝！！

お便り２００１／４／２
from=マスマニア

武田先生お世話になっています　未解決問題の答えを一応できましたので
お送りいたします　正解かどうか　ご再考のほどお願いいたします


(1)log(n+1)＜1 +　1/2 +　1/3 、、、+1/n (n=1,2,3,,)

(2)Lim n→∞　{1/logn ・Σ　k=1～n (1/K)}=1

(3)Lim n→∞　{1/logn・∫1～n+1(|sinπx/x|dx)}
　=∫0～1 (sinπy・dy)=2/π

の（3）について　考える　

（1）　（2）は武田先生の証明により成立しているとみなす


∫1～n+1(|sinπx/x|dx)}について　まず考える

|sinπx/x|＝｜sinπx｜/｜x｜（｜sinπx｜÷｜x｜のこと）である
積分区間がまず　1～nなので　｜x｜＝xである　これを考えると
　　
　1/logn *∫1～n+1(|sinπx｜/xdx)}　　となる　ここで　sinπxにかかってる
絶対値をはずしたい。よって　Σを使った書き方にかえる

　　　　1/logn * Σ　K＝1～n〈∫k～k+1　(|sinπx｜/xdx)}　とする

　この手の問題は普通　直接に求めようとしても　モトマラナイ　
よってはさみうちの形にもっていくのが常道である

今積分区間は　　　　k≦x≦k+1より　1/（k+1）≦1/x≦1/k　により

1/logn * Σ K＝1～n 1/（k+1）*∫k～k+1　(|sinπx｜dx)≦
1/logn * ΣK＝1～n∫k～k+1　(|sinπx｜/xdx)　　　　　　
　　　　　　　　　　　　↑この不等式を（P）とする

1/logn * Σ ∫k～k+1　(|sinπx｜/xdx)≦
1/logn * Σ1/k *∫k～k+1　(|sinπx｜dx)
                  　　　↑この不等式を（Q）とする

の2つ　（P）（Q）が成立する

（Q）の右辺について考える

　　∫k～k+1　(|sinπx｜dx)　k+1-x＝yと置換積分すると

　　∫k～k+1　(|sinπx｜dx)　＝∫0～1 (sinπy・dy)であるので

（Q）の右辺は　1/logn * Σ1/k *∫0～1 (sinπy・dy)である

（2）より Lim n→∞ 1/logn * Σ1/k＝1なので　
n→ ∞のとき　（Q）ノ右辺は
1/logn * Σ ∫k～k+1　(|sinπx｜/xdx)≦∫0～1 (sinπy・dy)　となる

　次は同じ要領で（P）も考える
1/logn * Σ K＝1～n 1/（k+1）
＝1/logn * Σ K＝1～n 1/（k）+｛（1/logn）*（1/n+1）｝
であるので　n→ ∞のとき
1/logn * Σ K＝1～n 1/（k+1）＝1である

よって（P）においても
　∫0～1 (sinπy・dy)≦1/logn * ΣK＝1～n∫k～k+1　(|sinπx｜/xdx)　
が成立する

よって n→ ∞のとき

∫0～1 (sinπy・dy)
≦1/logn * ΣK＝1～n∫k～k+1　(|sinπx｜/xdx)
≦∫0～1 (sinπy・dy)

が成立する　　　　　　

はさみうちの定理により n→ ∞のとき

1/logn * ΣK＝1～n∫k～k+1　(|sinπx｜/xdx)＝∫0～1 (sinπy・dy)

が成立する

∫0～1 (sinπy・dy)を計算すれば
π/2なので

Lim n→∞　{1/logn・∫1～n+1(|sinπx/x|dx)}
　=∫0～1 (sinπy・dy)=2/πが成り立つ

終わり