質問＜２８１５＞２００６／１／４
from=SO
「式の問題」

x=√3+1のとき,x^4-3x^3+2x^2+5x-6の値を求めよ。

という問題なんですが,ただ代入して求めるやり方でなく,
工夫したやり方で解答をお願いしたいんですけど・・・ 

★希望★完全解答★

お返事２００６／１／６
from=武田

x=√3+1を変形して、
ｘ－１＝√３
２乗して、
（ｘ－１）^2＝３
ｘ^2－２ｘ＋１＝３
ｘ^2－２ｘ－２＝０
この左辺で、x^4-3x^3+2x^2+5x-6を割ると、

　　　　　　　　ｘ^2　－ｘ　＋２
　　　　　　　―――――――――――――――――
ｘ^2－２ｘ－２）ｘ^4－３ｘ^3＋２ｘ^2＋５ｘ－６
　　　　　　　　ｘ^4－２ｘ^3－２ｘ^2
　　　　　　　　――――――――――――――
　　　　　　　　　　　－ｘ^3＋４ｘ^2＋５ｘ
　　　　　　　　　　　－ｘ^3＋２ｘ^2＋２ｘ
　　　　　　　　　　　――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　　２ｘ^2＋３ｘ－６
　　　　　　　　　　　　　　　２ｘ^2－４ｘ－４
　　　　　　　　　　　　　　　――――――――
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７ｘ－２

したがって、
Ａ÷Ｂ＝Ｑ…Ｒならば、Ａ＝ＢＱ＋Ｒより、
ｘ^4－３ｘ^3＋２ｘ^2＋５ｘ－６
＝（ｘ^2－２ｘ－２）（ｘ^2－ｘ＋２）＋（７ｘ－２）
＝　　　０　　　　・（ｘ^2－ｘ＋２）＋（７ｘ－２）
＝７ｘ－２

ｘ＝√３＋１を、ｘ^4－３ｘ^3＋２ｘ^2＋５ｘ－６に代入しなくても
７ｘ－２に代入すればよいから、
７（√３＋１）－２＝７√３＋５……（答）