質問＜２８１＞２０００／６／３０
from=Hapiness　Sky
「積分」

初めまして。今度、期末テストで、「この問題出すぞ！」
といわれ、分からなかったので、先生に質問した所、
「そんなの自分で考えろ。」と言われました。
全く。ひどいです。

２つの放物線　ｙ＝ｘ^2とｙ＝（ｘ－１）^2＋２ａ
があり、この２つの放物線の共通接線に囲まれた図形の面積をＳとする。
このときＳを求めよ。

放物線ｙ＝ｘ^2とある直線Ｌがあり、この２つの交点座標をＰ，Ｑとし、
Ｐ、Ｑの中点座標をＭとする。このときの、Ｍの軌跡を求めよ。
ただし、ｙ＝ｘ^2と直線Ｌで囲まれた面積は、１である。

お返事２０００／７／２
from=武田

問１

２つのグラフの交点は
ｙ＝ｘ2 とｙ＝（ｘ－１）2 ＋２ａの連立より、
ｘ2 ＝（ｘ－１）2 ＋２ａ
∴ｘ＝ａ＋１／２
共通接線の方程式は、ｙ＝ｘ2 の接点を（α，α2 ）とすると、
ｙ′＝２ｘより、傾きは２α
したがって、ｙ－α2 ＝２α（ｘ－α）……①
ｙ＝（ｘ－１）2 ＋２ａを微分して、
ｙ′＝２（ｘ－１）
共通接線だから、傾きは①と同じ
２（ｘ－１）＝２α
ｘ－１＝α　∴ｘ＝α＋１
放物線ｙ＝（ｘ－１）2 ＋２ａの接点は
ｙ＝（α＋１－１）2 ＋２ａ＝α2 ＋２ａ
このｘとｙを共通接線①に代入すると、
α2 ＋２ａ－α2 ＝２α（α＋１－α）
２ａ＝２α　∴α＝ａ
共通接線①はｙ＝２ａｘ－ａ2 ……②

囲まれた面積Ｓを２つに分けて、
Ｓ1 ＝∫a a+1/2｛ｘ2 －（２ａｘ－ａ2 ）｝ｄｘ
　　＝［ｘ3 ／３－ａｘ2 ＋ａ2 ｘ］a a+1/2

　　　１　　　　１　　　　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　１
　　＝─｛（ａ＋─）3 －ａ3 ｝－ａ｛（ａ＋─）2 －ａ2 ｝＋ａ2 ｛（ａ＋─）－ａ｝
　　　３　　　　２　　　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　　２
途中省略
　　＝１／２４
一方
Ｓ2 ＝∫a+1/2a+1｛（ｘ－１）2 ＋２ａ－（２ａｘ－ａ2 ）｝ｄｘ
　　＝∫a+1/2a+1｛ｘ2 －２（ａ＋１）ｘ＋（ａ＋１）2 ）｝ｄｘ
　　＝［ｘ3 ／３－（ａ＋１）ｘ2 ＋（ａ＋１）2 ｘ］a+1/2a+1
途中省略
　　＝１／２４
したがって、　　　１　　１　　１
Ｓ＝Ｓ1 ＋Ｓ2 ＝──＋──＝──　……（答）
　　　　　　　　２４　２４　１２

問２

直線Ｌをｙ＝ａｘ＋ｂとおくと、
交点Ｐ、Ｑはｙ＝ｘ2 と連立して、
ｘ2 ＝ａｘ＋ｂ
ｘ2 －ａｘ－ｂ＝０
この２次方程式の２解をα、βとすると、
解と係数の関係より、
｛α＋β＝ａ
｛αβ＝－ｂ
（β－α）2 ＝β2 －２αβ＋α2 
　　　　　　＝（α＋β）2 －４αβ
　　　　　　＝ａ2 ＋４ｂ
β－α＝√（ａ2 ＋４ｂ）＝Ａとおく。
β2 －α2 ＝（α＋β）（β－α）＝ａＡ
β3 －α3 ＝（β－α）（β2 ＋αβ＋α2 ）
　　　　　＝Ａ｛（α2 ＋２αβ＋β2 ）－αβ｝
　　　　　＝Ａ｛（α＋β）2 －αβ｝＝Ａ（ａ2 ＋ｂ）

面積Ｓ＝１より、
Ｓ＝∫αβ｛（ａｘ＋ｂ）－ｘ2 ｝ｄｘ
　＝［（ａ／２）ｘ2 ＋ｂｘ－（１／３）ｘ3 ］αβ

　　ａ　　　　　　　　　　　　　　　１
　＝─（β2 －α2 ）＋ｂ（β－α）－─（β3 －α3 ）
　　２　　　　　　　　　　　　　　　３

　　ａ　　　　　　　　　　１
　＝─（ａＡ）＋ｂ（Ａ）－─｛Ａ（ａ2 ＋ｂ）｝
　　２　　　　　　　　　　３

　　Ａ
　＝─（３ａ2 ＋６ｂ－２ａ2 －２ｂ）
　　６

　　Ａ
　＝─（ａ2 ＋４ｂ）＝Ａ／６・Ａ2 ＝Ａ3 ／６
　　６
したがって、Ａ3 ／６＝１より、Ａ3 ＝６
｛√（ａ2 ＋４ｂ）｝3 ＝６
ａ2 ＋４ｂ＝６2/3
４ｂ＝－ａ2 ＋６2/3

　　　　ａ2  １
∴ｂ＝－─＋─・６2/3 ……①
　　　　４　４
ＰＱの中点Ｍより、ｘ＝（α＋β）／２＝ａ／２……②
点Ｍは直線Ｌ上にあるから、①と②を代入して、
　　　　　　　　　ａ　ａ2 　１
ｙ＝ａｘ＋ｂ＝ａ・─－──＋─・６2/3 
　　　　　　　　　２　４　　４

　　ａ2 　６2/3 
　＝──＋──　……③
　　４　　４

②と③より、
４ｙ＝ａ2 ＋６2/3 
　　＝（２ｘ）2 ＋６2/3 
ｙ＝ｘ2 ＋６2/3／４
　＝ｘ2 ＋（６／８）2/3 
　＝ｘ2 ＋（３／４）2/3 
　＝ｘ2 ＋（９／１６）1/3 
したがって、
　　　　　　　　　９
ｙ＝ｘ2 ＋3 √（──）　……（答）
　　　　　　　　１６