質問＜２８０＞２０００／６／２７
from=あや
「不等式の証明」

問）次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはど
　　のようなときか。ただし、文字はすべて正の数とる。
　　　　　　　　　　　　
(1) (a+2b)(2c+d)≧8√abcd　←√の中にabcdが入る。

(2)     1       1       1
    (x+ ー )(y+ ー )(z+ ー )≧8
        y       z       x

(3)            1    2    4
    (a+2b+4c)( ー + ー + ー )≧49
               a    b    c
教えてください！！
連続してスイマセン…また分からないのが…

A)|x|＜1, |y|＜1, |z|＜1 の時、次の不等式を証明せよ。
(1)xy+1>x+y       (2)xyz+2>x+y+z

                      
　　　　　　　　　　　x^3+y^3+z^3
B)x>0, y>0, z>0 の時、------------≧xyz 証明せよ。
                           3
                    　(↑分数のつもりです。x^3はxの3
                    　　　　　　　　乗のつもりです。)

お返事２０００／６／２８
from=武田

問１から問３までは、すべて相加平均≧相乗平均の問題でした。
ａ＋ｂ
───≧√（ａ・ｂ）より、（ａ＋ｂ）≧２√（ａ・ｂ）として利用する。
　２
等号が成り立つのは、ａ＝ｂのとき

問１
左辺＝（ａ＋２ｂ）・（２ｃ＋ｄ）≧２√（ａ・２ｂ）・２√（２ｃ・ｄ）
　　＝４√（４ａｂｃｄ）＝４・２√（ａｂｃｄ）
　　＝８√（ａｂｃｄ）＝右辺
したがって、左辺≧右辺
等号が成り立つのは、ａ＝２ｂ、または２ｃ＝ｄのとき

問２
　　　　　　１　　　　　１　　　　　１
左辺＝（ｘ＋─）・（ｙ＋─）・（ｚ＋─）
　　　　　　ｙ　　　　　ｚ　　　　　ｘ

　　　　　　　　１　　　　　　　１　　　　　　　１
　　≧２√（ｘ・─）・２√（ｙ・─）・２√（ｚ・─）
　　　　　　　　ｙ　　　　　　　ｚ　　　　　　　ｘ

　　　　　　　　　　　１
　　＝８√（ｘｙｚ・───）＝８√１＝８＝右辺
　　　　　　　　　　ｘｙｚ
したがって、左辺≧右辺
　　　　　　　　　　　　１　　　　　　１　　　　　　１
等号が成り立つのは、ｘ＝─、またはｙ＝─、またはｚ＝─
　　　　　　　　　　　　ｙ　　　　　　ｚ　　　　　　ｘ
つまり、ｘ＝ｙ＝ｚ＝１のとき

問３
　　　　　　　　　　　　　　１　２　４
左辺＝（ａ＋２ｂ＋４ｃ）・（─＋─＋─）
　　　　　　　　　　　　　　ａ　ｂ　ｃ

　　　　　　ａ　　ａ　　ｂ　　　　ｂ　　ｃ　　ｃ
　　＝１＋２─＋４─＋２─＋４＋８─＋４─＋８─＋１６
　　　　　　ｂ　　ｃ　　ａ　　　　ｃ　　ａ　　ｂ

　　　　　　　　ａ　ｂ　　　　ａ　ｃ　　　　ｂ　ｃ
　　＝２１＋２（─＋─）＋４（─＋─）＋８（─＋─）
　　　　　　　　ｂ　ａ　　　　ｃ　ａ　　　　ｃ　ｂ

　　　　　　　　　　　ａｂ　　　　　　　ａｃ　　　　　　　ｂｃ
　　≧２１＋２・２√（──）＋４・２√（──）＋８・２√（──）
　　　　　　　　　　　ｂａ　　　　　　　ｃａ　　　　　　　ｃｂ

　　＝２１＋４√１＋８√１＋１６√１
　　＝２１＋４＋８＋１６＝４９＝右辺
したがって、左辺≧右辺
　　　　　　　　　　ａ　ｂ　　　　ａ　ｃ　　　　ｂ　ｃ
等号が成り立つのは、─＝─、または─＝─、または─＝─
　　　　　　　　　　ｂ　ａ　　　　ｃ　ａ　　　　ｃ　ｂ
つまり、ａ＝ｂ＝ｃのとき

問Ａ１
左辺－右辺＝（ｘｙ＋１）－（ｘ＋ｙ）＝ｘｙ＋１－ｘ－ｙ
　　　　　＝ｘ（ｙ－１）－（ｙ－１）＝（ｘ－１）（ｙ－１）
｜ｘ｜＜１、｜ｙ｜＜１より、ｘ－１＜０、ｙ－１＜０
したがって、左辺－右辺＞０∴左辺＞右辺

問Ａ２
上の問題より、ｘｙ＞ｘ＋ｙ－１
左辺＝ｘｙｚ＋２＞（ｘ＋ｙ－１）ｚ＋２＝ｘｚ＋ｙｚ－ｚ＋２
　　＞（ｘ＋ｚ－１）＋（ｙ＋ｚ－１）－ｚ＋２
　　＝ｘ＋ｙ＋ｚ＝右辺
したがって、左辺＞右辺

問Ｂ
因数分解の公式より、
ｘ3 ＋ｙ3 ＋ｚ3 －３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 －ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ）
　１
＝─（ｘ＋ｙ＋ｚ）｛（ｘ－ｙ）2 ＋（ｙ－ｚ）2 ＋（ｚ－ｘ）2 ｝
　２
ｘ＞０、ｙ＞０、ｚ＞０より、
ｘ＋ｙ＋ｚ＞０、（ｘ－ｙ）2 ≧０、（ｙ－ｚ）2 ≧０、（ｚ－ｘ）2 ≧０
したがって、
ｘ3 ＋ｙ3 ＋ｚ3 －３ｘｙｚ≧０
ｘ3 ＋ｙ3 ＋ｚ3 ≧３ｘｙｚ
ｘ3 ＋ｙ3 ＋ｚ3 
────────≧ｘｙｚ
　　　３