質問＜２８０８＞２００６／１／３
from=ダン
「図形」

一辺の長さがaである正四面体OABCの辺AB上に点Pをとり、
APの長さをxとおく。
(1)OPの長さを求めよ。
(2)三角形OPCの面積が最小になるようにxの値を定めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／５
from=wakky

（１）
△ＯＡＰに対して余弦定理から
ＯＰ^2＝ＯＡ^2＋ＡＰ^2－２ＯＡ・ＯＰｃｏｓ６０°
　　　＝ａ^2＋ｘ^2－ａｘ
よって
ＯＰ＝√（ｘ^2－ａｘ＋ａ^2）・・・（答）

（２）
△ＯＰＣはＯＰ＝ＰＣの二等辺三角形
ＯＣの中点をＦとすると△ＯＰＦは直角三角形
ＰＦ^2＝ＯＰ^2－（ａ^2／４）
　　　＝ｘ^2－ａｘ＋（３／４）ａ^2
△ＯＰＣの面積をＳとすると
Ｓ＝（１／２）・ＯＣ・ＰＦ
　＝（ａ／２）√（ｘ^2－ａｘ＋（３／４）ａ^2）
つまり
ｘ^2－ａｘ＋（３／４）ａ^2が最小となるときにＳは最小になるから
ｘ^2－ａｘ＋（３／４）ａ^2
＝｛ｘ－（ａ／２）}^2＋（ａ^2／２）より
ｘ＝ａ／２のときＳは最小となり
そのとき、Ｓ＝（√２・ａ^2）／４
※根号の中味が＞０であるなどの検証は省略しました。
計算も確かめていないので、間違っていたらすみません。