質問＜２７９６＞２００５／１２／３０
from=スギ
「三角形の辺と角」

acosA=bcosBを満足する三角形ABCはどのような三角形か。
ただし、a=BC,b=CAとする。

福山大の過去問です。よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／６
from=風あざみ

c=ABとおきます。

余弦定理より
a{(b^2+c^2-a^2)/(2bc)}=b{(c^2+a^2^b^2)/(2ca)}
両辺に2abcを掛けると
a^2(b^2+c^2-a^2)=b^2(a^2+c^2-b^2)

a^2c^2-a^4=b^2c^2-b^4
(a^2-b^2)c^2-(a^2-b^2)(a^2+b^2)=0
(a^2-b^2)(c^2-a^2-b^2)=0
(a-b)(a+b)(c^2-a^2-b^2)=0

aとbは辺の長さだから当然正の数であるので、a+b＞0である。
よってa=bとなるかc^2=a^2+b^2となるかのいずれかである。

したがって、求める三角形はBC＝ACとなる二等辺三角形、あるいは角C=90°
となるような直角三角形である。