質問＜２７６９＞２００５／１２／１５
from=はっさく
「ベクトル」

（１）
→a，→bが,｜→a＋→b｜＝８、｜→a-→b｜＝６をみたし、
→a＋→bと→a-→bが直交しているとき、
→a・→b、｜→a｜、｜→b｜を求めよ。
また、→aと→bのなす角をθとするとき、cosθの値を計算で求めよ。

（２）
△OABにおいて、点Oから直線ABにおろした垂線の足をHとする。
｜→OA｜=３、｜→OB｜=２、→OA・→OB=２のとき、→OHを→OAと→OBで表せ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１２／１８
from=wakky

（１）
ベクトルを表す→は省略します。
｜ａ＋ｂ｜＝８より両辺を平方して
｜ａ＋ｂ｜^2＝ａ・ａ＋２ａ・ｂ＋ｂ・ｂ
＝｜ａ｜^2＋２ａ・ｂ＋｜ｂ｜^2＝６４・・①
｜ａ－ｂ｜＝６より同様に
｜ａ｜^2－２ａ・ｂ＋｜ｂ｜^2＝３６・・②
①－②より
４ａ・ｂ＝２８　∴ａ・ｂ＝７・・（答）
（①＋②）÷２より
｜ａ｜^2＋｜ｂ｜^2＝５０・・③
また
ａ＋ｂとａ－ｂが直交するから
（ａ＋ｂ）・（ａ－ｂ）＝０
∴　｜ａ｜^2－｜ｂ｜^2＝０・・④
③④から
｜ａ｜＝｜ｂ｜＝５・・（答）
ａ・ｂ＝７より
｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ＝７
∴　ｃｏｓθ＝７／２５・・（答）

（２）
ベクトルを表す→は省略しますが、
以下に出てくるｔはベクトルではなく実数です。

ＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂ、ＯＨ＝ｈとおく
点Ｈは直線ＡＢ上にあるから
ｈ＝ｔａ＋（１－ｔ）ｂ・・・①とおける
ｈとＡＢ＝ｂ－ａは直交するから
ｈ・（ｂ－ａ）＝０
すなわち
｛ｔａ＋（１－ｔ）ｂ｝・（ｂ－ａ）＝０
これを展開整理して
｜ａ｜＝３、｜ｂ｜＝２、ａ・ｂ＝２を代入すれば
－９ｔ＋２＝０　∴　ｔ＝２／９
①より
ｈ＝（２／９）ａ＋（７／９）ｂ
ＯＨ＝（２／９）ＯＡ＋（７／９）ＯＢ・・（答）