質問＜２７６０＞２００５／１２／１１
from=鰯
「数列」

初項a,公比r(≠1)の等比数列{a_n}がある。
この数列の最初の３項a_1(＝a),a_2,a_3は次の性質（１）,（２）を持つものとする。
（１）a_1＋a_2＋a_3＝6
（２）a_1,a_2,a_3の順序を適当に入れかえると等差数列になる。
このとき、初項a,公比rの組(a,r)を求めよ。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１２／１３
from=wakky

まず
ａ1＝ａ，ａ2＝ａｒ，ａ3＝ａｒ^2だから
（１）より
ａ＋ａｒ＋ａｒ^2＝６
ａ（１＋ｒ＋ｒ^2）＝６・・・①
当然にしてａは０でない

（２）の条件は
ａ1，ａ2，ａ3の並び方は全部で６通りあって
それぞれについて公差をｄとでもして求めるのは
文字数が増える（ｄが加わる）のと
６通りの全部の検証は大変になります。
等差中項で考えれば、３通りの検証で済みますし、ｄも不要となります。

ａ1が等差中項のとき
（ａ2＋ａ3）／２＝ａ1より
ａｒ＋ａｒ^2＝２ａ
ｒ^2＋ｒ－２＝０　（ｒ＋２）（ｒ－１）＝０
r≠１よりｒ＝－２
①より（ａ，ｒ）＝（２，－２）

ａ2が等差中項のとき
ａ＋ａｒ^2＝２ａｒ
ｒ^2－２ｒ＋１＝０　（ｒ－１）^2＝０
よってｒ＝１、これは不適

ａ3が等差中項のとき
ａ＋ａｒ＝２ａｒ^2
２ｒ^2－ｒ－１＝０　（２ｒ＋１）（ｒ－１）＝０
r≠１よりｒ＝－１／２
①より（ａ，ｒ）＝（３，－１／２）

以上から
（ａ，ｒ）＝（２，－２），（３，－１／２）