質問＜２７４０＞２００５／１２／１
from=マイケル
「図形証明」

円に内接する四角形ＡＢＣＤがある。
|AB|=a,|BC|=b,|CD|=c,|DA|=d,角ABC=θ　
とするとき、この四角形の面積Ｓは、
Ｓ＝√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) であることを証明せよ。
ただし、2S=a+b+c+d である。

という問題がさっぱりです・・。宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１２／３
from=wakky

四角形ABCDは円に内接するから
∠ABC=θより∠ADC=180°-θ
△ABCにおいて余弦定理より
AC^2=a^2＋b^2－2abcosθ・・・①
△ADCにおいて同様に
AC^2=c^2＋d^2－2cdcos(180°-θ)
　　=c^2＋c^2＋2cdcosθ・・・②
①②より
a^2＋b^2－2abcosθ=c^2＋d^2＋2cdcosθ
∴cosθ=(a^2＋b^2－c^2－d^2)/{2(ab+cd)}
sin^2θ=1-cos^2θとa+b+c+d=2sより
（途中計算省略）
sin^2θ＝4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)/(ab+cd)^2
0＜θ＜180°よりsinθ＞0
∴sinθ=2√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}/(ab+cd)
S=△ABC+△adc
 =(1/2)absinθ+(1/2)cdsin(180°-θ)
 =(1/2)(ab+cd)sinθ
 =√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)  （証明終り）