質問＜２７３０＞２００５／１１／２７
from=山須
「証明」

某大学の入試問題です。よろしくお願いします。
問. 次のことを証明しなさい。
(1)log_10 2は無理数である
(2)log_10 2 ＞ 3/10
(3)自然数mに対して, 10^m ＜ 2^n ＜ 10^(m+1) を満たす自然数nは4個以下である。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１２／１９
from=風あざみ

(1)
log_10 2が有理数と仮定する。

log_10 2=n/m　(nとmは自然数)と書ける。
10^(n/m)=2だから
10^n=2^mとなる
10^nは5で割り切れるのに、2^mは5では割り切れないから不合理

したがって、log_10 2は無理数である。

(2)
10^(10*log_10 2)={10^(log_10 2)}^10=2^10=1024＞1000=10^3となるから、
10*log_10 2＞3

したがって、log_10 2＞3/10

(3)
10^m ＜ 2^n ＜ 10^(m+1) 
logをとると
m＜n*log_10 2＜m+1

m/(log_10 2)＜n＜m/(log_10 2)+1/（log_10 2）＜m/(log_10 2)+10/3＜m/(log_10 2)+4

したがって、
10^m ＜ 2^n ＜ 10^(m+1) を満たす自然数nは4個以下であることが示された。