質問＜２７１０＞２００５／１１／２３
from=もくり
「定積分の問題です」

∫_(-1)^1 {√(1-x^2)}dx　を求めなさい。

★希望★完全解答★

お返事２００５／１１／２３
from=武田

【解答１】
∫_(-1)^1 {√(1-x^2)}dx
ｘ＝ｓｉｎθとおく。
ｄｘ＝ｃｏｓθｄθ
√（１－ｘ^2）＝√（１－ｓｉｎ^2θ）
　　　　　　　＝√ｃｏｓ^2θ
　　　　　　　＝ｃｏｓθ
ｘ＝－１のとき、θ＝－π／２
ｘ＝　１のとき、θ＝π／２
したがって、
∫_(-1)^1 {√(1-x^2)}dx

＝∫_(-π/2)^(π/2)｛ｃｏｓ^2θ｝ｄθ

　　　　　　　　　　　１＋ｃｏｓ２θ
＝∫_(-π/2)^(π/2)｛――――――――｝ｄθ
　　　　　　　　　　　　　　２

　　１　　１　　　　　　　１　　π/2
＝［―θ＋―（ｓｉｎ２θ）―　］
　　２　　２　　　　　　　２　　-π/2

　　π　ｓｉｎπ　　　　　π　ｓｉｎ（－π）
＝（―＋――――　）－｛－―＋――――――　｝
　　４　　４　　　　　　　４　　　４

　π　０　π　０　π
＝―＋―＋―－―＝―　……（答）
　４　４　４　４　２

【解答２】
半径１の円の上半分の面積だから

π・１^2　π
――――＝―　……（答）
　２　　　２