質問＜２６８３＞２００５／１１／１０
from=娵コ
「ベクトル」

次の問題がわかりません。教えてください、宜しくお願いします。
|ﾍﾞｸﾄﾙOA｜=1、｜ﾍﾞｸﾄﾙOB｜=2である三角形AOBに対して,
k=|2ﾍﾞｸﾄﾙOA＋ﾍﾞｸﾄﾙOB|／｜ﾍﾞｸﾄﾙOA－2ﾍﾞｸﾄﾙOB｜とする。
このとき、θ=∠AOBとするときk^2をcosθで表せ。
また三角形AOBが二等辺三角形となるときのkの値を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／１２
from=wakky

ベクトルを表す→は省略します。
ＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂとします。
ｋ＝｜２ａ＋ｂ｜／｜ａ－２ｂ｜
まず、ｋ＞０
ここで
内積ａ・ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ＝２ｃｏｓθ
　　　｜２ａ＋ｂ｜^2
ｋ^2＝---------------
　　　｜ａ－２ｂ｜^2

　　４｜ａ｜^2＋４ａ・ｂ＋｜ｂ｜^2
＝　-------------------------------
    ｜ａ｜^2－４ａ・ｂ＋４｜ｂ｜^2

　　４＋８ｃｏｓθ＋４
＝　-------------------
　　１－８ｃｏｓθ＋１６

　　８＋８ｃｏｓθ
＝　---------------- ・・・（答）
　　１７－８ｃｏｓθ

次に△ＡＯＢが二等辺三角形ならば
ＡＢ＝２　（ＡＢ＝１なら三角形にならない）
従って、余弦定理から
ｃｏｓθ＝１／４（計算省略）
よって
ｋ^2＝２／３
ｋ＞０より
ｋ＝√６／３・・・（答）