質問＜２６６７＞２００５／１１／６
from=けい
「メルセンヌ数」

(1)　2^q-1が素数ならば、qは素数であることを証明せよ。
証明には、x^n-1=(x-1){x^(n-1)＋x^(n-2)＋…＋x＋1 }という因数分解と
背理法を用いる。

(2) 2^q-1の形をメルセンヌ数と言う。
qが素数で、2^q-1が素数でない最小の素数qは何か。

という２問が良く分かりません。申し訳ありませんが解答をお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／１３
from=たなか

1)　qは素数でないと仮定すると
q=ab（a≧2,b≧2）となるa,bが存在する。
このとき、
2^q-1=(2^a-1)｛1+2^a+2^2a+2^3a+･･････+2^(b-1)a｝=(2^ab)-1
となり、2^q-1は、素数でない。
従って、2^q-1が素数ならば、qは素数である。

2)  これは、実際に計算するしかないのでは。
  2^2-1=3,2^3-1=7,2^5-1=31,2^7-1=127,
  2^11-1=2047(=23x89)であるから素数q=11