質問＜２６６＞２０００／５／３１
from=katunori
「積分の問題」

物理の力学分野の問題で
空気抵抗、摩擦力を考慮に入れた、斜面上を走る物体の運動を表す式(下)

ａ＝－ｇ*(sinθ＋μ*cosθ)－(ｋ/ｍ)*ｖ

ａ：加速度、ｇ:重力加速度、θ:傾斜角、ｋ:空気抵抗係数
ｖ：速度(dx/dt)

この式の加速度ａを時間ｔについて積分していって、速度ｖ・距離ｘと
時間ｔとの関係を表す方程式を導きたいのですが
よかったら解法を教えて下さい。お願いします。

お返事２０００／６／１
from=武田

高校の物理の先生に聞いたところ、この式は坂道を上がっていく物体の
運動だそうです。坂上向きを正の向きにすると、空気抵抗も摩擦も重力
も全部マイナスがつくそうです。
ｍａ＝－ｋｖ－μｍｇcosθ－ｍｇsinθ
　　　１
ａ＝－─（ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）
　　　ｍ
　　　　　ｄｖ
加速度ａ＝──より、積分して、
　　　　　ｄｔ
ｄｖ　　１
──＝－─（ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）
ｄｔ　　ｍ

　　　　　　　１
∫ｄｖ＝∫｛－─（ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）｝ｄｔ
　　　　　　　ｍ

　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　　　１
∫────────────────ｄｖ＝∫（－─　）ｄｔ
　（ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）　　　　　　ｍ

１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｔ
─ｌｏｇ｜ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ｜＝－─＋Ｃ
ｋ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｍ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｋ
ｌｏｇ｜ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ｜＝－─ｔ＋ｋＣ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｍ

｜ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ｜＝ｅ-(k/m)t+kC

ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ＝±ｅ-(k/m)tｅkC

±ｅkC＝Ａとおくと、

ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ＝Ａｅ-(k/m)t

初期条件ｔ＝０，ｖ＝０より、
Ａ＝μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ

ｋｖ＝（μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）ｅ-(k/m)t－（μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）
　　＝（μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）（ｅ-(k/m)t－１）

　　　ｍｇ
∴ｖ＝──（μcosθ＋sinθ）（ｅ-(k/m)t－１）……（答）
　　　ｋ

　　　　ｄｘ
速度ｖ＝──より、積分して、
　　　　ｄｔ

ｄｘ　ｍｇ
──＝──（μcosθ＋sinθ）（ｅ-(k/m)t－１）
ｄｔ　ｋ

　　　　ｍｇ
∫ｄｘ＝──（μcosθ＋sinθ）∫（ｅ-(k/m)t－１）ｄｔ
　　　　ｋ

　　ｍｇ　　　　　　　　　　　ｍ
ｘ＝──（μcosθ＋sinθ）（－─ｅ-(k/m)t－ｔ＋Ｃ）
　　ｋ　　　　　　　　　　　　ｋ

初期条件ｔ＝０，ｘ＝０より、
　ｍ　　　　　　　　　　　　　ｍ
－─＋Ｃ＝０　したがって、Ｃ＝─
　ｋ　　　　　　　　　　　　　ｋ

　　ｍｇ　　　　　　　　　　　ｍ　　　　　　　ｍ
ｘ＝──（μcosθ＋sinθ）（－─ｅ-(k/m)t－ｔ＋─　）
　　ｋ　　　　　　　　　　　　ｋ　　　　　　　ｋ

　　　　ｍ2 ｇ　　　　　　　　　　　　　　　ｋ
∴ｘ＝－───（μcosθ＋sinθ）（ｅ-(k/m)t＋─ｔ－１）……（答）
　　　　ｋ2 　　　　　　　　　　　　　　　　ｍ