質問＜２５７＞２０００／５／２２
from=かず
「陰関数の微分」

陰関数、x２乗ー３xｙ＋ｙ２乗＝１について微分せよ。
っという問題なのですが、
（解）２ｘー３（ｙ＋ｘｄｙ/ｄｘ）＋２ｘｄｙ/ｄｘ＝０
っとなるみたいなのですが、わかりません。
そもそも、陰関数とは何なのか？どういう公式を使ってるのかもわからない
のです。教科書しか頼れるものがありません。授業は睡眠学習だったので、
さっぱりです。
今更学校の先生に行く事も出来ません。よろしくお願いします。

お返事２０００／５／２２
from=武田

陰関数と陽関数の区別は簡単です。ｙ＝で始まる関数は全て陽関数と言います。
したがって、それ以外の関数を陰関数と言えばいいわけです。
微分はｙ′やｙ′′などのように陽関数のｙにダッシュをつけることが多いので、
陰関数の場合はそういう表現にはならないわけです。
変数ｘについて微分するとか、変数ｙについて微分するとか指定する必要がでて
きます。大概は上の質問のようにｘについて微分することが多いわけです。
やり方は簡単です。変数ｘについて微分をして下さい。
（ｘ2 ）′＝２ｘ
（－３ｘｙ）′＝－３（ｘｙ）′＝－３（ｘ′ｙ＋ｘｙ′）←積の微分

　　　　　　　　　　　ｄｙ　　　　ｄｙ
　＝－３（１・ｙ＋ｘ・──　）←　──はｙ′と同じこと（陰関数の時は
　　　　　　　　　　　ｄｘ　　　　ｄｘ　　　　　　　　　こちらをよく使う）

　　　　　　ｄ（ｙ2 ）　ｄ（ｙ2 ）　　ｄｙ　　　　　ｄｙ
（ｙ2 ）′＝─────＝──────・───＝２ｙ・───
　　　　　　　ｄｘ　　　　ｄｙ　　　　ｄｘ　　　　　ｄｘ
　　　　　　　↑　　　　　↑　　　　　　　　　　↑
　　　　　　　合成関数　　変数ｙについて　　　　質問ではｘとなっているが
　　　　　　　の微分　　　微分　　　　　　　　　誤り
（１）′＝０
したがって、
ｘ2 －３ｘｙ＋ｙ2 ＝１を変数ｘについて微分すると、
　　　　　　　　　ｄｙ　　　　　　ｄｙ
２ｘ－３（ｙ＋ｘ・──　）＋２ｙ・──＝０
　　　　　　　　　ｄｘ　　　　　　ｄｘ

　　　　　　　　　ｄｙ　　　　ｄｙ
２ｘ－３ｙ－３ｘ・──＋２ｙ・──＝０
　　　　　　　　　ｄｘ　　　　ｄｘ

　　　　　　　　　　　　　　　　　ｄｙ
（２ｘ－３ｙ）＋（－３ｘ＋２ｙ）・──＝０
　　　　　　　　　　　　　　　　　ｄｘ

ｄｙ　－２ｘ＋３ｙ　　　　　　　　－２ｘ＋３ｙ
──＝──────　←導関数ｙ′＝──────　（分数関数）となる。
ｄｘ　－３ｘ＋２ｙ　　　　　　　　－３ｘ＋２ｙ

次からは予習をして、睡眠学習にならないようにしましょう。