質問＜２５２＞２０００／４／２４
from=ohno
「大小関係」

以下の＞はすべてイコール付きだとします。
「ｎを自然数として、常にｎａ＾ｎ＞ｎ＾３となるようなａの最小値を求めよ」
という問題を教えてください。
ｎは自然数だから、ａ＾ｎ＞ｎ＾２として良いと思うのですが、これ以降の考え
方が思いつきません。
よろしくお願いします。

お返事２０００／４／２５
from=武田

ｎ・ａn ≧ｎ3 
自然数ｎで両辺を割ると、
ａn ≧ｎ2 
ｎ乗根をとって、
ａ≧ｎ2/n
自然数ｎを実数ｘとして、グラフを描くと、

極大となる接点を通る横線のｙ軸の目盛りがａの最小値となるから、
ｆ（ｘ）＝ｘ2/xを微分するために、両辺にｌｏｇをつけると、
ｌｏｇｆ（ｘ）＝ｌｏｇ　ｘ2/x

　　　　　　　　２
　　　　　　　＝─・ｌｏｇ　ｘ
　　　　　　　　ｘ
微分して、
ｆ′(x)　　２ｘ・(1/x)－２・１・ｌｏｇ　ｘ　　２－２ｌｏｇ　ｘ
────＝─────────────────＝────────
ｆ(x)　　　　　　　　　ｘ2 　　　　　　　　　　　　　ｘ2 

　　　　　２（１－ｌｏｇ　ｘ）・ｘ2/x
ｆ′(x)＝────────────────
　　　　　　　　　　　ｘ2 

極値を求めるために、ｆ′(x)＝０とすると、ｘ≠０より、
１－ｌｏｇ　ｘ＝０
ｌｏｇ　ｘ＝１
∴ｘ＝ｅ（自然対数の底　２．７１８２８１８）
ｆ（ｘ）にｘ＝ｅを代入して、
∴ａ＝ｆ（ｅ）＝ｅ2/e＝２．０８７０
したがって、
ａの最小値はｅ2/e……（答）

（追伸）
ｎは自然数だったので、ｅ前後の自然数の２または３を代入して
ｆ（２）＝２2/2＝２
ｆ（３）＝３2/3＝２．０８００……
より、
ａの最小値は３2/3の方が良いようだ。