質問＜２４３１＞２００５／６／３０
from=なおひ
「代数学の問題」

ｎを自然数として、ｎ+３が５の倍数、ｎ+５が３の倍数のとき、
これを満たす最小のｎの値を求めよ。
また、小さい順に並べたとき、１０番目の数を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／７／３
from=名無し

n+3=5p   n+5=3qとします。
n=5p-3    n=3q-5
より5p-3=3q-5
      3q-5p=2
これをみたすp.qのひとつは
      3*4-5*2=2
より3(q-4)=5(p-2)
3と5は互いに素なので
q-4=5k    p-2=3kとおける。
よってq=5k+4   p=3k+2
nは自然数とぃうことを考えると
最小はk＝0のときで
q＝4  よってn=3q-5=7  (p=2   n=5p-3=7)

10番目はk=9のときで
q=49   n=3q-5=147-5=142  (p=29   n=5p-3=145-3=142)

お便り２００５／７／３
from=Sirius

ｎ+３＝５ａ　･･･①
ｎ+５＝３ｂ　･･･②　(ａ，ｂは自然数)

とおける。

①⇔ｎ＝５ａ－３
②⇔ｎ＝３ｂ－５

ｎを消去して
　５ａ－３＝３ｂ－５
⇔ｂ＝(５ａ＋２)/３＝ａ＋２(ａ＋１)/３

ｂは自然数より、２(ａ＋１)は３の倍数

∴(ａ＋１)は３の倍数　･･･①

これを満たす最小のｎの値は、ａ＝２のときで
ｎ＝７

小さい順に並べたとき、１０番目のｎは
ａの１０番目を考えればよい
①より、ａは初項２、項差３の等差数列と考えることが出来る

ａの一般項は２＋３(ｋ－１)
ｋに１０を代入して

ａ＝２９　･･･②

②のとき、ｎ＝１４２　･･･答