質問＜２３８２＞２００５／５／２３
from=ピロシキ
「確率変数の分布関数と密度関数」

Xが正規分布N(μ,σ^2)に従うとき
Y=aX^2(aは正の定数)の分布関数F_Y(y)と確率密度関数p_Y(ｙ）を求めよ。

計算してみましたが答えが綺麗でないので自信がありません。
よろしかったら確認してください。

E(y)
=∫_-∞^∞(以下これを単に∫で表す）y*p(y)*dy
=∫2x^2*p(2x^2)*2ax*dx
=4a∫x^3/{√(2π)σ}*e^{-(2x^2-μ)^2/2σ^2}*dx
ここで
z=(2x^2-μ)/σ, dx=σ/4x*dz, x^2=(σz+μ)/2
として計算すると
=a/2∫(σz+μ)/√(2π)*e^(-z^2/2)*dz
=aμ/2

σ^2(y)
=∫(y-aμ/2)^2*p(y)dy
=aσ^2/2-(1-a/2)^2

従って
p_Y(y)=1/{√(2π)σ(y)*e^{(x-aμ/2)^2/2σ(y)^2}
F_Y(y)=∫_-∞^y{p_Y(y)}}*dy

計算を途中省略してすいません。
Eが合っているようなら全部載せることを考えます。
失礼なお願いですがよろしくお願いします。

★希望★ヒント希望★

お便り２００５／５／２５
from=juin

Xの分布がN(μ,σ^2)のとき、Y=aX^2は正規分布になりません。
F(y)=P(Y＜y)=0 (y＜0)
F(y)=P(Y＜y)=P(aX^2＜y)=P(-(√y)/a＜X＜(√y)/a)
=P(X＜(√y)/a)-P(X＜-(√y)/a)
密度関数はこれを微分する。