質問＜２３０＞２０００／２／２１
from=角田雄介
「積分」

武田先生へ
おひさしぶりです。
至急なんですが、2月25日に試験があるのですが
それまでに自分でやった積分の答えと先生がやってくださっ
た答えとであわせたいと思います。
また、わからない問題もあるためよろしくお願いします。
①∫（ｘ3＋１／ｘ－１）ｄｘ
②∫（１／ｅx）ｄｘ
③∫（２sinｘ＋cosｘ）ｄｘ
④∫cos２ｘｄｘ
　　π/4
⑤∫　cos2ｘｄｘ
　　0
　　　　ｄｘ
⑥∫──────
　　（２ｘ－１）3
　　1　　１　　　　ｘ
⑦∫（────＋────）ｄｘ
　　0　ｘ2＋１　ｘ2＋１
⑧∫ｘsinｘｄｘ
　　　ｘ＋７
⑨∫─────ｄｘ
　　ｘ2－ｘ－６
⑩ｆ（ｘ）＝ｘ3－ｘ2の増減、極値を調べて、
　ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフを描け。

お返事２０００／２／２１
from=武田

角田(スミダ)君、久しぶりです。冷たくしたので、質問しなくな
ったのかなと思っていましたが、結構勉強しているのですね。
質問は大歓迎ですが、さすがにいっぺんに１０題は多すぎます
ね。次からは、小分けして質問して下さい。
問１
∫（ｘ3＋１／ｘ－１）ｄｘ
＝ｘ4／４＋log｜ｘ｜－ｘ＋Ｃ……（答）

問２
∫（１／ｅx）ｄｘ＝∫ｅ-xｄｘ
－ｘ＝ｔとおいて、－ｄｘ＝ｄｔ
∫ｅ-xｄｘ＝∫ｅt（－１）ｄｔ
＝－ｅt＋Ｃ
＝－ｅ-x＋Ｃ……（答）

問３
∫（２sinｘ＋cosｘ）ｄｘ
＝－２cosｘ＋sinｘ＋Ｃ……（答）

問４
∫cos２ｘｄｘ
２ｘ＝ｔとおくと、２ｄｘ＝ｄｔ
∫cos２ｘｄｘ＝∫cosｔ（１／２）ｄｔ＝（１／２）∫cosｔｄｔ
＝（１／２）sinｔ＋Ｃ＝（１／２）sin２ｘ＋Ｃ……（答）

問５
　π/4　　　　　　　　　　　π/4　１＋cos２ｘ
∫　cos2ｘｄｘ＝∫　　──────ｄｘ
　0　　　　　　　　　　　　　0　　　　２
　１　　　sin２ｘ　π/4　　π　　１
＝─［ｘ＋────］　＝　──＋──　……答
　２　　　　２　　　0　　　８　　４

問６
　　　ｄｘ
∫──────＝∫（２ｘ－１）-3ｄｘ
　（２ｘ－１）3
２ｘ－１＝ｔとおくと、２ｄｘ＝ｄｔ
∫（２ｘ－１）-3ｄｘ＝∫ｔ-3（１／２）ｄｔ
　１　　ｔ-3+1　　　　　　ｔ-2
＝─・─────＋Ｃ＝－────＋Ｃ
　２　－３＋１　　　　　　４
　　　　　１
＝－───────＋Ｃ
　　４（２ｘ－１）2

問７
　1　　１　　　　ｘ
∫（────＋────）ｄｘ
　0　ｘ2＋１　ｘ2＋１
　1　　１
∫　────ｄｘについて
　0　ｘ2＋１
　　　　　　　　　　　　　１
ｘ＝tanθとくと、ｄｘ＝────ｄθ
　　　　　　　　　　　　cos2θ
ｘ＝１のとき、θ＝π／４
ｘ＝０のとき、θ＝０
　1　　１　　　　　π/4　　１　　　　　　１
∫　────ｄｘ＝∫　───────・────ｄθ
　0　ｘ2＋１　　　　0　１＋tan2θ　　　cos2θ
　　π/4　　　　　　π/4　π
＝∫　１　ｄθ＝［θ］＝───
　　0　　　　　　　　0　　４
　1　　ｘ
∫　────ｄｘについて
　0　ｘ2＋１
ｘ2＝ｔとおくと、２ｘｄｘ＝ｄｔ
　1　　ｘ　　　　　1　　　１
∫　────ｄｘ＝∫　──────ｄｔ
　0　ｘ2＋１　　　　0　２（ｔ＋１）
　１　　　　　　　　1　１
＝─［log｜ｔ＋１｜］＝─・log２
　２　　　　　　　　0　２
したがって、
　1　　１　　　　ｘ　　　　　　π　　１
∫（────＋────）ｄｘ＝──＋──・log２　……（答）
　0　ｘ2＋１　ｘ2＋１　　　　　４　　２

問８
∫ｘsinｘｄｘ＝ｘ・（－cosｘ）－∫１・（－cosｘ）ｄｘ
＝－ｘcosｘ＋sinｘ＋Ｃ……（答）

問９
　　ｘ＋７　　　　　　　　ｘ＋７
∫─────ｄｘ＝∫────────ｄｘ
　ｘ2－ｘ－６　　　　(ｘ－３)(ｘ＋２)
　　（ｘ＋２）＋５　　　
＝∫────────ｄｘ
　　(ｘ－３)(ｘ＋２)　　
　　　　１　　　　　　　　　５
＝∫─────ｄｘ＋∫────────ｄｘ
　　（ｘ－３）　　　　(ｘ－３)(ｘ＋２)
　　　　１　　　　　　　　　１　　　１
＝∫─────ｄｘ＋∫｛────－────｝ｄｘ
　　（ｘ－３）　　　　　(ｘ－３)　(ｘ＋２)
＝log｜ｘ－３｜＋log｜ｘ－３｜－log｜ｘ＋２｜＋Ｃ
＝log（ｘ－３）2－log｜ｘ＋２｜＋Ｃ
　　　　（ｘ－３）2
＝log　──────　＋Ｃ　……（答）
　　　　｜ｘ＋２｜

問１０
ｆ（ｘ）＝ｘ3－ｘ2
微分して、ｆ′（ｘ）＝３ｘ2－２ｘ＝ｘ（３ｘ－２）
ｆ′（ｘ）＝０より、ｘ＝０，２／３
ｆ（０）＝０、ｆ（２／３）＝－４／２７
増減表とグラフは下図のようになる。