質問＜２２７＞２０００／２／１７
from=水島愛
「積分と微分」

１．関数ｆ（ｘ）＝ｘ＾２－２ｘ＋１について、ｘがａからｂ
　　まで変わるとき、その平均変化率をもとめよ。
２．次の関数を積分せよ。
（１）（ｘー１÷√ｘ）＾２
３、次の関数を不定積分をもとめよ。
（１）∫（３e＾ｘ＋ｃｏｓｘ）ｄｘ
（２）∫（ｃｏｓθ÷２－ｓｉｎθ÷２）＾２ｄθ
（３）∫ｄｕ÷ｃｏｓ＾２ｕ

お返事２０００／２／１８
from=武田

問１

上図の曲線ｆ（ｘ）＝ｘ2－２ｘ＋１において、
直線ＡＢの傾きが、平均変化率のことだから、
ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）　（ｂ2－２ｂ＋１）－（ａ2－２ａ＋１）
─────────＝──────────────────
　　　ｂ－ａ　　　　　　　ｂ－ａ

　（ｂ2－ａ2）－２（ｂ－ａ）
＝─────────────
　　　　　ｂ－ａ

＝（ｂ＋ａ）－２＝ａ＋ｂ－２……（答）

問２（１）
∫（ｘ－１／√ｘ）2ｄｘ＝∫（ｘ2－２√ｘ＋１／ｘ）ｄｘ

＝ｘ3／３－２∫ｘ1/2ｄｘ＋ｌｏｇ｜ｘ｜＋Ｃ

　　ｘ3　　　　ｘ1/2+1
＝───－２・────＋ｌｏｇ｜ｘ｜＋Ｃ
　　３　　　　1/2＋１

＝ｘ3／３－(4/3)・ｘ√ｘ＋ｌｏｇ｜ｘ｜＋Ｃ……（答）

問３（１）
∫（３ｅx＋cosｘ）ｄｘ＝３ｅx＋sinｘ＋Ｃ……（答）

問３（２）
　　　cosθ　　sinθ
∫（────－────）2ｄθ＝(1/4)∫（cosθ－sinθ）2ｄθ
　　　２　　　　２

＝(1/4)∫（cos2θ－２cosθsinθ＋sin2θ）ｄθ
＝(1/4)∫（１－２cosθsinθ）ｄθ
＝(1/4)（∫ｄθ－２∫cosθsinθｄθ）
＝(1/4)（θ＋２∫cosθｄcosθ）
＝(1/4)｛θ＋２（cosθ）2／２｝＋Ｃ
＝(1/4)（θ＋cos2θ）＋Ｃ……（答）

問３（３）
　　ｄｕ
∫────
　cos2ｕ

tanｕ＝ｘとおくと、

　ｄｕ
────＝ｄｘ
cos2ｕ

したがって、
　　ｄｕ
∫────＝∫ｄｘ＝ｘ＋Ｃ＝tanｕ＋Ｃ……（答）
　cos2ｕ