質問＜２２６＞２０００／２／６
from=mebius
「平面と直線の交点」

　先ず
  平面の方程式の一般形
    Ax+By+Cz+D=0
  直線の方程式
    (x,y,z)=(a,b,c)+t(d,e,f)
  とした上で、代入法により
　ｔについて
        -(Aa+Bb+Cc+D)
    t = -------------- 
　       (Ad+Be++Cf)
  このｔを直線の方程式に代入すると交点が
　求まるものと思います。
　疑問はここからでして
　平面の方程式の(A,B,C)は法線ベクトル
　Dは法線ベクトル方向の原点からの距離と認識していました。
　例えば
　　三角形
      A(-10, 10, 0)
      B(  0, 10,10)
      C( 10, 10, 0)
    の法線ベクトルが(0,1,0)とすると
　　Dは平面上に含まれる一点を用いて求めることができるので
　　10になります。
　直線の開始点を(0,15,0)、方向を(0,-1,0)とすると
　前述の認識では交点の結果がおかしくなります。
　そこで平面式の一般形を
  D = -(Ax+By+Cz)
　と変形してから当てはめてやると全く問題はなくなるの
　ですが、今度は
　　Dは法線ベクトル方向の原点からの距離と認識
　していたものと違うことになります。
　一体Dとはどういう意味なのでしょうか？
　また、とある参考書を見ると
　平面式の一般形が
　　  Ax+By+Cz=D
  などと掲載されていたのですが、他のどの参考書を
　見てもそんな書き方はされていません。
　　一体何が真実なのかわからずに困惑しています。
　ご教授お願いします。

お返事２０００／２／７
from=武田

平面αの方程式をＡｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ＝０とすると、
　　　　　　→
法線ベクトルｎ＝（Ａ，Ｂ，Ｃ）
平面上の２点Ａ（ａ，ｂ，ｃ）Ｐ（ｘ、ｙ、ｚ）とすると、
原点からの位置ベクトルは、
→　　　　　　　　　→
ｐ＝（ｘ、ｙ、ｚ）、ａ＝（ａ，ｂ，ｃ）
平面α上の直線は次のベクトルで表示できる。
→　→
ｐ－ａ＝（ｘ－ａ，ｙ－ｂ，ｚ－ｃ）
このベクトルと、法線ベクトルは垂直だから、
内積がゼロとなる。
→　　→　→
ｎ・（ｐ－ａ）＝０
Ａ（ｘ－ａ）＋Ｂ（ｙ－ｂ）＋Ｃ（ｚ－ｃ）＝０
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋（－Ａａ－Ｂｂ－Ｃｃ）＝０
したがって、一般には、Ｄ＝（－Ａａ－Ｂｂ－Ｃｃ）は原点
と平面との距離と言うことはできない。

Ｄ＝－（Ａａ＋Ｂｂ＋Ｃｃ）
　　　→　→
　＝－ｎ・ａ
→　　　　　　　→　　　　　　　　　→　　→
ａを法線ベクトルｎと同方向とすると、ａ＝ｋｎより、
　　　→　　→
Ｄ＝－ｎ・ｋｎ
　　　　　→
　＝－ｋ｜ｎ｜2
　→　　　　　　　　→
｜ｎ｜＝１のとき、（ｎを単位ベクトルとすると）
Ｄ＝－ｋ
　→　　　　→
｜ａ｜＝ｋ｜ｎ｜＝ｋ
　　　　→
Ｄ＝－｜ａ｜
　　　　　　　　　　→
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ－｜ａ｜＝０

したがって、平面の方程式をＡｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＝Ｄとし、
法線ベクトルが単位ベクトルとすると、Ｄは原点からの法線ベクトル方向の平面までの距離と言うことができそうである。