質問＜２２２９＞２００５／３／１０
from=数学苦手
「不等式の証明」

|a|＜1,|b|＜1のとき,|a＋b|＋|a－b|＜2を証明せよ。
分からないのでおしえてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／３／１２
from=KINO

a+b と a-b の符号で場合分けします。
本質的にはこれらが同符号か，異符号かの区別しかありませんが，
余計にわかりにくくなりますので，解答は長くなりますが
４通りの場合を全て調べることにします。

その前に絶対値記号の基本事項を確認しておきます。
そもそもの定義は
・x≧0 ならば |x|=x, x＜0 ならば |x|=-x.
これから次のことがわかります：
・±x≦|x|.
あと，これも必要です：
・|xy|=|x||y|.

それでは場合分けをひとつずつ調べましょう。
(1) a+b≧0, a-b≧0 のとき
  |a+b|+|a-b|=(a+b)+(a-b)=2a≦|2a|=2|a|.
(2) a+b≧0, a-b＜0 のとき
  |a+b|+|a-b|=(a+b)-(a-b)=2b≦|2b|=2|b|.
(3) a+b＜0, a-b≧0 のとき
  |a+b|+|a-b|=-(a+b)+(a-b)=-2b≦|2b|=2|b|.
(4) a+b＜0, a-b＜0 のとき
  |a+b|+|a-b|=-(a+b)-(a-b)=-2a≦|2a|=2|a|.

仮定より |a|＜1, |b|＜1 なのでどの場合も最右辺は 2 より小さくなります。

お便り２００５／３／１２
from=wakky