質問

整形数のf(x)がx=1-2^(1/3)+2^(2/3)を解に持つとき、
f(x)はg(x)=x^3-3x^2+9x-9で割り切れることを証明せよ。

という問題で、
f(x)=g(x)q(x)+r(x)
と表して、
x=1-2^(1/3)+2^(2/3)のとき
題意よりf(x)=0と言える。また
g(x)=0が言えるから、r(x)=0となり、題意が証明された。
という流れで証明しました。

そこで、
r(x)は３次で割ったあまりだがら２次であり、
多項式として0であるかどうかわからないと指摘されたのですが、
これについてくわしくかいせつしていただけませんか。
よろしくお願い致します。

★希望★完全解答★

お便り２００５／２／２
from=KINO

x の3次式である g(x) で f(x) を割った余りだから r(x) が2次以下の式である，
ということはわかっているものとします。
このことから，r(x)=ax^2+bx+c とおけます。
f(x) も g(x) も係数が整数（特に有理数）なので，余り r(x) の係数 a, b, c も
有理数です。
「余り r(x) が 0」ということは，「r(x) が恒等的に 0」ということ，
つまり「r(x) はどんな x の値に対しても常に 0 になる」ということです。
これは，係数 a, b, c が全て 0 ということと同値です。

さて，あなたの解答では，x=1-2^(1/3)+2^(2/3) が方程式 r(x)=0 の解であること
だけしか示しておらず，
r(x) の係数 a, b, c が全て 0 ということまで示していません。
それではこの問題の解答しては不十分だという指摘なのではないでしょうか。

あとは 2^(1/3) (と 2^(2/3)) が無理数であることと，
r(1-2^(1/3)+2^(2/3))=0 であること，そして a, b, c が有理数であることを使って
a=b=c=0 を示せば，完全な解答になるかと思います。