質問

授業でこれが公式だと教わったのですが、
証明方法まではやりませんでした。
自分で解いても分かりません。

y=ax^2＋bx＋cと、y=px＋qの交点（α,　）（β,　）
S=1/6{｜a｜（β－α）^3}

y=ax^2＋bx＋cと、y=px^2＋qx＋rの交点（α,　）（β,　）
S=1/6{｜a-p｜（β－α）^3}

この二つの式の証明を教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１／２２
from=wakky

（α,　）（β,　）と書いてますが
交点のｙ座標は必要ないんですよ。
前半の部分は
ａ＞０ならば放物線が直線より下になり
ａ＜０ならば放物線は直線より上になりますね。
ａ＝０なら放物線にはなりませんね。
もちろん放物線と直線が交わるときですけどね。
定積分で面積を求めるとき
積分区間において
上にある曲線（直線）の方程式から下にある曲線（直線）の方程式を引いて
定積分するでしょう。
それで、方程式
ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝ｐｘ＋ｑの二つの解を
α，β（α＞β）とすると
この方程式は
ａ（ｘ－α）（ｘ－β）＝０と同値ですね。
つまり
ｙ＝ａ（ｘ－α）（ｘ－β）とｘ軸で囲まれる面積になるわけです。
この場合
ａの符号で上下関係が変るので
どちらでもいいように絶対値をとればいいんです。
（面積は常に正ですから）
つまり
｜ａ｜（ｘ－α）（ｘ－β）を
α≦ｘ≦βの区間で定積分すればいいってことです。
それを実際に計算すると（面倒なので自分でやってください）
このような公式が導かれるはずです。

後半は、両方とも二次関数ですね
ａ＝ｐなら引き算すると二次関数にはなりませんね。
どっちの放物線が上にあるのかは
ａとｐの大小関係によりますね。
どちらでもいいように絶対値をとるのは前半と同じです。
だから
｜ａ－ｐ｜（ｘ－α）（ｘ－β）を
α≦ｘ≦βの区間で定積分すればいいはずです。

実際に展開して積分してみてください。