質問＜２１５５＞２００５／１／８
from=叶野兄弟
「式と計算？」

少し長いのですが、教えていただけないでしょうか。

互いに異なるa,b,cが 
(a-b)/(b+c)=(b-c)/(c+a)=(c-a)/(a+b)を満たすとき、
次の問いに答えよ。
（１）a+b+cの値を求めよ。
（２）b/a=kとするとき、ｋの満たす式を求めよ。
（３）k^2000　をｋの１次式で表せ。
（４）(a^2)/(bc)+(b^2)/(ca)+(c^2)/(ab)の値を求めよ。

お願いいたします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１／９
from=風あざみ

(1)
(a-b)/(b+c)=(b-c)/(c+a)=(c-a)/(a+b)=sとおくと
a-b=(b+c)s…{1}
b-c=(c+a)s…{2}
c-a=(a+b)s…{3}
(式{1}+式{2}+式{3})÷2より 
0=(a+b+c)s…{4}
{4}よりs=0あるいはa+b+c=0
s=0と仮定する
{1}に代入するとa=bとなってa,b,cが互いに異なることに反する。
よってa+b+c=0

(2)
a+b+c=0よりb+c=-a
(a-b)/(b+c)=(a-b)/(-a)=b/a-1
よって
(a-b)/(b+c)=b/a-1…{5}
同様に
(b-c)/(c+a)=c/b-1…{6}
(c-a)/(a+b)=a/c-1…{7}
{5}、{6}、{7}を
(a-b)/(b+c)=(b-c)/(c+a)=(c-a)/(a+b)
に代入して整理すると
b/a=ｃ/b=a/c
b/a=ｃ/b=a/c=kとおくと
b=ak…{8}
c=bk…{9}
a=ck…{10}
式{8}×式{9}×式{10}÷abcより
k^3=1…{11}
(k-1)(k^2+k+1)=0
k=1あるいはk^2+k+1=0
k=1と仮定する。
{8}に代入するとa=bとなってa,b,cが互いに異なることに反する。
よってk^2+k+1=0

(3)
(2)の{11}より
k^3=1となるので
k^2000=(k^3)^666*k^2=k^2
(2)でやったようにk^2+k+1=0だから
k^2=-k-1
よってk^2000=-k-1

(4)
(a^2)/(bc)+(b^2)/(ca)+(c^2)/(ab)を通分して
(a^2)/(bc)+(b^2)/(ca)+(c^2)/(ab)=(a^3+b^3+c^3)/(abc)

a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+c^3-3abc+3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
a+b+c=0だから
a^3+b^3+c^3=3abc

よって(a^3+b^3+c^3)/(abc)=(3abc)/(abc)=3

お便り２００５／１／９
from=wakky

途中一部計算省略します。
(1)
(a-b)/(b+c)=(b-c)/(c+a)=(c-a)/(a+b)=p とおくと
a,b,cは互いに異なるから p≠0
a-b=p(b+c)
b-c=p(c+a)
c-a=p(a+b)
辺々加えると
0=2p(a+b+c)
p≠0 より
a+b+c=0・・・（答）

(2)
b/a=k より b=ak
(1)よりa+b+c=0だから
a+ak+c=0
∴c=-a-ak
(a-b)/(b+c)=k-1
(b-c)/(c+a)=-(2k+1)/k
(c-a)/(a+b)=-(k+2)/(k+1)
条件式から
k-1=-(2k+1)/k=-(k+2)/(k+1)
前半２式も後半２式も同じ結果になって
k^2+k+1=0・・・（答）

(3)
k^2+k+1=0より
k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)=0
∴k^3=1
k^2000
=k^1998･k^2
=(k^3)^666･k^2
=k^2
=-k-1・・・（答）
あるいは
k^2+k+1=0 を解いて
k=(-1±i√3)/2
これを極形式に直して
ド・モアブルの定理を活用してもできます。

(4)
(a^2)/(bc)+(b^2)/(ca)+(c^2)/(ab)
=(a^3+b^3+c^3)/abc
ここで
a+b+c=0より
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=0
∴a^3+b^3+c^3=3abc
よって
(a^3+b^3+c^3)/abc=3
すなわち
(a^2)/(bc)+(b^2)/(ca)+(c^2)/(ab)=3・・・（答）