質問＜２１５＞２０００／１／１９
from=みさき
「三角比」

球に内接する正四面体ABCDがある。球の中心をOとし、
∠AOB＝θとするとき、cosθの値を求めよ。

全然解けません。出来れば早急に教えていただけると
（明日当てられるので）助かります。

お返事２０００／１／２１
from=武田

残念ながら、メールを見たのが２０日の２１時なので、
宿題に間に合いませんでしたね。

図に示したように、正四面体ＡＢＣＤの１辺ａ、球の半径ｂ
とすると、

ＡＯの延長線と△ＢＣＤの交点をＥとすると、
∠ＢＥＣ＝１２０°
（∵ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ、ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤより、
ＥＢ＝ＥＣ＝ＥＤ　また、ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＢ）
したがって、
　　　　　　１２０°　ａ　　　　　　　　ａ
ＥＢ・ｓｉｎ───＝───より、ＥＢ＝───
　　　　　　　２　　　２　　　　　　　√３

△ＯＢＥにおいて、三平方の定理より、
ＯＥ2＝ｂ2－ＥＢ2
　　　＝ｂ2－ａ2／３……①

また、△ＡＢＥにおいて、三平方の定理より、
ＡＥ2＝ａ2－ＥＢ2
　　　＝ａ2－ａ2／３
　　　＝（２／３）ａ2
平方根をとり、ＡＥ＞０より、
ＡＥ＝√（２／３）ａ……②

したがって、半径ｂ＝ＡＯ＝ＡＥ－ＯＥより
平方して、
ｂ2＝（ＡＥ－ＯＥ）2
　　＝ＡＥ2－２ＡＥ・ＯＥ＋ＯＥ2
　　＝（２／３）ａ2－２ＡＥ・ＯＥ＋ｂ2－ａ2／３
２ＡＥ・ＯＥ＝（１／３）ａ2
②より、
　　　１・√３・ａ2
ＯＥ＝────────
　　　３・２・√２・ａ
　　＝（１／√２４）ａ……③

①と③より
ＯＥ2＝ｂ2－ａ2／３
ＯＥ2＝ａ2／２４
したがって、
ｂ2＝（９／２４）ａ2
平方根を取り、ｂ＞０、ａ＞０より、
ｂ＝（３／√２４）ａ……④

∠ＡＯＢ＝θとすると、∠ＢＯＥ＝π－θ、③④より
　　　　　　　　　ＯＥ　（１／√２４）ａ　（１／√２４）ａ
ｃｏｓ（π－θ）＝──＝────────＝────────
　　　　　　　　　ＯＢ　　　　　ｂ　　　　（３／√２４）ａ
＝１／３
－ｃｏｓθ＝１／３
∴ｃｏｓθ＝－１／３……（答）
θを関数電卓で求めると、約１０９．５°となる。