質問

放物線 y=(x-p)＾2-2 が、(0,0),(1,2),(0,2)を頂点とする三角形と交わる
ような実数pの範囲を求めよ。よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／２／２
from=KINO

図で考えるしかなさそうですね。
頂点の座標に O(0,0), A(1,2), B(0,2) と名前をつけておきます。
放物線 y=(x-2)^2-2 の頂点の座標は (p,-2) で，
p の値によらずに，x 軸に平行な直線 y=-2 上にあります。
p の値を増やしていくと，頂点が直線 y=-2 上を左から右に動いていきます。
そこで，xy 平面に直線 y=-2 を引いて，それ上に頂点がある下に凸な
放物線 y=(x-p)^2-2 を左から右にスライドさせて考えます。
まず，放物線が三角形のかなり左にあるところから始めましょう。
右にスライドさせていくと，まず放物線の右側の部分がBと交わります。
さらに右にスライドさせていくと，放物線は三角形の内部を通過しますが，
Aを通り過ぎてしまうと交点がなくなってしまいます。
さらに右にスライドさせていくと，今度は放物線の左側の部分がOにひっかかり，
それからしばらく三角形の内部を通過する状態が続き，やはりAを通り過ぎてしまうと
もう交点をもたなくなります。
というわけで，放物線がO, A, B を通るときの p の値が鍵になることが
わかりましたので，それらを求めることにします。
　Aを通るとき，2=(1-p)^2-2 すなわち p^2-2p-4=0 より p=1±√5.
　Bを通るとき，2=(0-p)^2-2 より p^2=4，よって p=±2.
　Oを通るとき，0=(0-p)^2-2 より p^2=2，よって p=±√2. 
よって，先ほどの議論より
　p＜-2 のとき交点なし，
　p=-2 のときBで交わる，
　-2＜p＜1-√5 で三角形の内部を通過する，
　p=1-√5 のときAで交わる，
　1-√5＜p＜√2 のとき交点なし，
　p=√2 のとき原点Oで交わる，
　√2＜p＜1+√5 で三角形の内部を通過する，
　p=1+√5 のときAで交わる，
　1+√5＜p のとき交点なし。
答えは，-2≦p≦1-√5 または √2≦p≦1+√5.

お便り２００５／２／４
from=wowow

Ｏ(0,0),Ａ(1,2),Ｂ(0,2)とし、
Ｃ:y=(x-p)^2-2を陰関数表示した(x-p)^2-y-2=0についてf(x,y)=(x-p)^2-y-2とする。
Ｃの頂点はy=-2上に存在するので△ＯＡＢとＣが交わるのならばＣは辺ＯＡ
又は辺ＯＢを通る。正領域と負領域の関係から
①Ｃが辺ＯＡを通るとき
　　(0,0)と(1,2)が異なる領域に存在するので
　　　　　　　　f(0,0)・f(1,2)≦0
 　{(0-p)^2-0-2}{(1-p)^2-2-2}≦0
 　　　　　　(p^2-2)(p^2-2p-3)≦0
　　　(p+√2)(p-√2)(p-3)(p+1)≦0
　　よって-√2≦p≦-1,√2≦p≦3
②Ｃが辺ＯＢを通るとき
　　(0,0)と(0,2)が異なる領域に存在するので
　　　　　　　　f(0,0)・f(0,2)≦0
 　{(0-p)^2-0-2}{(0-p)^2-2-2}≦0
　　 　　　　　 (p^2-2)(p^2-4)≦0
　　　(p+√2)(p-√2)(p-2)(p+2)≦0
　　よって-2≦p≦-√2,√2≦p≦2
①②をあわせて
　　　　　-2≦p≦-1,√2≦p≦3