質問＜２０７２＞２００４／１１／１５
from=みなみ
「不等式」

1+logx+1/(2√x)＞0(x＞0)がわかりません。
微分することはわかっているのですが･･･
ご教授お願い致します。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１２／２
from=黒猫

f(x) = 1+logx+1/(2√x)とする。
f'(x) = 1/x - 1/4x√x
      = (4√x - 1)/4x√x
4√x - 1　⇒　x=1/16
x＜1/16の時f'(x)＜0  x＞1/16の時f'(x)＞0なので
f(x)はx=1/16の時に最小値をとる。
f(1/16) = 1-log16+2
        = log(e^3/16)
e＞2.7なので
        ＞ log((2.7)^3/16)
        ＝ log(19.683/16)
        ＞ log1＝0
∴f(x)=1+logx+1/(2√x) ＞ 0

お便り２００４／１２／３
from=wakky

f(x)=1+logx+1/2√x とおく。
f'(x)=(4√x-1)/4x√x
x＞0より 4x√x＞０だから
f'(x)＝0のとき x=1/16
よって次の増減表を得る。

  x         1/16

f'(x)   -    0    ＋

f(x)   減   極小  増

f(1/16)＝3-log16＞0
（e^3≒20.08だから）
よって
f(x)=1+logx+1/2√x ＞0