質問＜２０６７＞２００４／１１／１４
from=たっちゃん
「積分」

次の問題を教えてください。
（１）次の不定積分を求めよ。
　　　∫(x^2/(x+1))dx
（２）次の定積分を求めよ。
　　　∫_0^∞(x^n*e^-x)dx

★希望★完全解答★

お便り２００４／１１／２６
from=風あざみ

(1)
∫{x^2/(x+1)}dx
=∫{(x^2-1)/(x+1)}dx+∫{1/(x+1)}dx
=∫(x-1)dx+∫{1/(x+1)}dx
=x^2/2-x+log(x+1)+C
Cは積分定数

(2)
I_n=∫_0^∞(x^n)*{e^(-x)}dxと置く
I_n=n*I_(n-1)を示す。
I_n
=∫_0^∞(x^n)*{e^(-x)}dx
=∫_0^∞(x^n)*{-e^(-x)}'dx
=[-(x^n)e^(-x)]_0^∞+∫_0^∞{(x^n)}'*{e^(-x)}
=n∫_0^∞{x^(n-1)}*{e^(-x)}=n*I_(n-1)

したがって、
I_n
=n*I_(n-1)=n*(n-1)*I_(n-2)
=…
=n!*I_1

I_1
=∫_0^∞(x)*{e^(-x)}dx
=∫_0^∞(x)*{-e^(-x)}'dx
=[-(x)e^(-x)]_0^∞+∫_0^∞{(x)}'*{e^(-x)}
=∫_0^∞{e^(-x)}=[-e^(-x)]_0^∞=1だから

I_n
=∫_0^∞(x^n)*{e^(-x)}dx
=n!
となる。