質問＜２０４０＞２００４／１１／３
from=みなみ
「ベクトル」

R^4={(x,y,z,w)|x,y,z,w∈R}において
5点A(1,0,0,0),B(0,1,0,0),C(0,0,1,0),
D(0,0,0,1),P(x,y,z,w)に対し
　 →   →  →  →
   AP=sAB+tAC+uAD
となる実数s,t,u(s+t+u=1)が存在するのは
x,y,z,wがどんな関係を満たすときか。

ベクトルが苦手で困っています。
ご教授お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１１／９
from=UnderBird

AP=(x,y,z,w)-(1,0,0,0)=(x-1,y,z,w)
AB=(-1,1,0,0)
AC=(-1,0,1,0)
AD=(-1,0,0,1)
AP=sAB+tAC+uADに代入し、
(x-1,y,z,w)=s(-1,1,0,0)+t(-1,0,1,0)+u(-1,0,0,1)
              =(-s,s,0,0)+(-t,0,t,0)+(-u,0,0,u)
              =(-s-t-u,s,t,u)
よって、
x-1=-s-t-u　・・・①
y=s　　　　　　 ・・・②
z=t　　　　　　 ・・・③
w=u              ・・・④
だから、②③④s=y,t=z,u=wを①に代入すると
x-1=-y-z-w
∴x+y+z+w=1

お便り２００４／１１／９
from=juin

a=(1,0,0,0),b=(0,1,0,0),c=(0,0,1,0),d=(0,0,0,1)とする。
AP=sAB+tAC+uADを書き換える。
p-a=s(b-a)+t(c-a)+u(d-a)
p=(1-s-t-u)a+sb+tc+ud=0a+sb+tc+ud
=(0,s,t,u)
=(x,y,z,w)
よって、x=0,y+z+w=s+t+u=1