質問＜２０３１＞２００４／１０／３０
from=ハナマル
「証明」

自然数ｎに対し,ｎの正の約数をｄ1,ｄ2,･･････,ｄmとする．
このとき,Ａ(n)を,Ａ(d1)×Ａ(d2)×･･････×Ａ(dm)＝ｎ　を満たす
関数として定める．
すると,
Ａ(1)＝1,Ａ(1)×Ａ(2)＝2,Ａ(1)×Ａ(3)＝3,Ａ(1)×Ａ(2)×Ａ(4)＝4,
Ａ(1)×Ａ(5)＝5,Ａ(1)×Ａ(2)×Ａ(3）×Ａ(6)＝6,････
のような関係式がそれぞれの自然数ｎについて成り立ち,その関係式を
用いれば,Ａ(n)を求めることができるというわけです．
だから,Ａ(1)＝1,Ａ(2)＝2,Ａ(3)＝3,Ａ(4)＝2,Ａ(5)＝5,Ａ(6)＝1,････
というふうになります．
このとき,おそらくどのようなｎに対してもＡ(n)は自然数になると思う
のですが,それを証明することはできないでしょうか．
数学的帰納法を用いるにしても,それぞれの数について,
約数は異なるので難しいと思います．

★希望★完全解答★

お便り２００４／１０／３１
from=honda

整理するとこうなるのでしょうか
結局ほとんどの場合は1になるはずですね

n=1のときA(1)=1と定める
n=k-1のとき，
nの約数を，
1，d_1，d_2，...，d_{l}，n
（1＜d_i＜n，i=1，2，...，l）
とおき，
A(1)*A(d_1)*A(d_2)*・・・*A(d_l)*A(n)=n
によって，A(n)を定める．
このとき，A(n)は自然数であることを示せ．

これを示すには，
以下のことを証明すれば十分でしょう．

(1) 
素数p及び自然数nに対してA(p^n)=p
(2) 
相異なる素数p_1，p_2，...，p_k (kは自然数で2以上)，
自然数n_1，n_2，...，n_kに対して
A(p_1^{n_1}p_2^{n_2}・・・p_k^{n_k})=1

(1)の証明はnに関して帰納法．
(2)に関しては
n_1=n_2=・・・=n_k=1の場合でkに関して帰納法．
そしてX=p_1p_2・・・p_nとして
A(qX)=1（qは素数）
を示せば十分．
このqXの場合に対しては，
X=pqの場合だけ示せれば十分でしょう．
＃これも一種の帰納法です．

これら(1)(2)が示せれば，
自然数は素因数分解できることと，
素因数分解をして
p_1^{n_1}p_2^{n_2}・・・p_k^{n_k}
となった自然数の約数は
(1+p+・・・+p^{n_1)(1+p_2+・・・p_2^{n_2})
・・・(1+p_k+・・・p_k^{n_k})
の各項であることから
A(n)が自然数であることは示せます．