質問＜２０２８＞２００４／１０／２５
from=ml
「複素数平面」

複素数平面において、α＝1＋√3iを原点Oを中心にθだけ回転した複素数
をα'とし、β＝－1－iを原点Oを中心に－θだけ回転した複素数をβ'とする。
原点Oとα'、β'が一直線上にあるときのθの値を求めよ。
ただし、0°＜θ＜360°とする。

ちなみに答えはθ＝82.5°172.5°262.5°352.5°です。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１０／２９
from=wakky

ちょっと手抜きかも知れませんがやってみました。
だいたいはいいかと思います。

α＝１＋√３・ｉ
 ＝２｛（１／２）＋（√３／２）・ｉ｝
 ＝２（ｃｏｓ６０°＋ｉ・ｓｉｎ６０°）
β＝－１－ｉ
 ＝－√２｛（√２／２）＋（√２／２）・ｉ）
 ＝－√２（ｃｏｓ４５°＋ｉ・ｓｉｎ４５°）
したがって
α’＝２｛ｃｏｓ（θ＋６０°）＋ｉ・ｓｉｎ（θ＋６０°）｝
β’＝－√２｛ｃｏｓ（４５°－θ）＋ｉ・ｓｉｎ（４５°－θ）｝
｜α’｜＝√２｜β’｜であり
α’とβ’が一直線上にあるのだから
α’＝±√２β’
よって
ｃｏｓ（θ＋６０°）＝±ｃｏｓ（４５°－θ）
                   ＝±ｃｏｓ（θ－４５°）
－ｓｉｎ（θ＋６０°）＝±ｓｉｎ（４５°－θ）
が成り立つ
これはｎを整数とすると
θ＋６０°＝１８０ｎ°±（θ－４５°）であるから
①
θ＋６０°＝１８０ｎ°＋（θ－４５°）のとき
６０°＝１８０ｎ°－４５°
これはｎが整数にならないので不適
②
θ＋６０°＝１８０ｎ°－（θ－４５°）のとき
２θ＝１８０ｎ°－１５°
θ＝９０ｎ°－７．５°
０°＜θ＜３６０°だから
θ＝８２．５°，１７２．５°，２６２．５°，３５２．５°

厳密性に欠けるような気もしますけど
こんな感じでどうでしょうか？