質問

３つの整数a,b,cが、aの２乗＋bの２乗=cの２乗を満たすとき、
a,b,cのうち少なくとも１つは偶数であることを証明せよ。
の問題が分かりません。教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１０／２４
from=honda

a，b，cのすべてが奇数であるとする
奇数の二乗は奇数であるので
a^2+b^2は二つの奇数の和となり偶数
一方，c^2は奇数．
これはa^2+b^2=c^2に反する
よって，
a，b，cの少なくとも一つは偶数である．

お便り２００４／１０／２４
from=wakky

背理法で矛盾を導きます。
ａ，ｂ，ｃがすべて奇数であると仮定します。
ｘ，ｙ，ｚを整数として
ａ＝２ｘ＋１
ｂ＝２ｙ＋１
ｃ＝２ｚ＋１  とおけます。
ａ^2＋ｂ^2＝（２ｘ＋１）^2＋（２ｙ＋１）^2
          ＝４（ｘ^2＋ｘ＋ｙ^2＋ｙ）＋２
よって
ａ^2＋ｂ^2 は偶数。
一方
ｃ^2＝（２ｚ＋１）^2
    ＝４（ｚ^2＋ｚ）＋１
よって
ｃ^2 は奇数。
ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2を満たすのだから
偶数＝奇数となって、矛盾する。

感覚的には
偶数＋偶数＝偶数
奇数＋奇数＝偶数
偶数＋奇数＝奇数
偶数の平方は偶数
奇数の平方は奇数
つまり全部奇数では成り立たないということでしょう。