質問＜２０１０＞２００４／１０／１７
from=ともき
「テーラー展開」

log(1+x)=∑{(-1)^(n-1)/ｎ}(x^n)(n=1to∞）
を積分を用いて，できるだけ簡単に証明する方法を教えて下さい。
どこを調べても，抽象的すぎてイマイチ理解できないし，
高校生でも納得して証明できる方法はないのでしょうか？

★希望★完全解答★

お便り２００４／１０／１８
from=honda

等比級数の和の公式より
1/(1+r)=1/(1-(-r))
=\sum_{n=1}^{\infty} (-r)^{n-1}

この両辺を積分すると
左辺は
\int_0^x 1/(1+r)dr=log(1+x)
右辺の総和の各項は
\int_0^{x} (-r)^{n-1} dr = (-1)^{n-1}/n x^{n}

よって，求める展開が得られる．

========
ただし，これは厳密には「証明」ではないです．
積分と級数の交換やら，
そもそも最初の等比級数の和の公式は
-1＜r＜1なので定義域の問題もあります． 
-1＜r＜1以外でも成立するなどなどの議論は
厄介なので，大学1年生くらいの微積分の教科書を
参照してください

よって，
log(1+x)
=
\sum_{n=1}^[\infty} ((-1)^{n-1}(n-1)x^{n})/n

お便り２００４／１０／１９
from=juin

(d/dx)(log(1+x))=1/(1+x)
　　　　　　　　=1-x+x^2-...
　　　　　　　　=Σ(-1)^n(x^n) (|x|＜1)
これを積分すると。
log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-...
　　　　=Σ{(-1)^(n)/(n+1)}(x^(n+1))+C
x=0のとき両辺０だから、C=0
log(1+x)=Σ{(-1)^(n)/(n+1)}(x^(n+1))  (n=0..∞)