質問

三次方程式　x^3-18x^2-38x-40=0について
①x=2^nは解ではないことを証明せよ。
②この方程式を解け

特に①の証明については全く見当がつきません。
　できましたら、完全解答よろしくお願い致します。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１０／９
from=wakky

この問題は二度目の登場のようです。
まず、書かれた問題どおりだとすると
これは因数分解できて
（ｘ－２０）(ｘ^2＋２ｘ＋２）＝０
ｘ^2＋２ｘ＋２＞０より
解は ｘ＝２０ だけです。

質問＜１６６６＞と同じ問題であれば
ｘ^2の係数は－１８ではなく＋１８だと思います。
そこで
質問１６６６においてphaosさんがアドバイスしてくれていますが、
これを参考にパソコンでニュートン法による近似を試みてみました。
すると
－１９．８１５７９４３８６１２５５
  －０．７７８１８３７９８５３５２
    ２．５９３９７８１８４６６０７
以上の３つの近似解となりました。

２^nが解でないことの証明も
実際に紙と鉛筆で解くこともできませんでしたが
この問題の出どころはどこなんでしょうか？
私も完全解答を見てみたいと思います。
力になれなくてすみません(汗）

お便り２００４／１０／１０
from=風あざみ

(1)x=2^nが解ではないこと
n=1のとき
x^3-18x^2-38x-40にx=2を代入して
2^3-18*2^2-38*2+40=-100となるのでx=2はこの方程式の解ではない。
n=2のとき
x^3-18x^2-38x-40にx=4を代入して
4^3-18*4^2-38*4+40=-336となるのでx=4はこの方程式の解ではない。
n≧3のとき
x^3-18x^2-38x-40=0が解x=2^nを持つと仮定する。
x^3-18x^2-38x-40=0にx=2^nを代入して
（2^n)^3-18(2^n)^2-38*2^n-40=0
2^(3n)-18*2^(2n)-38*2^n=40
2^4=16でくくると
2^4*{2^(3n-4)-18*2^(2n-4)-19*2^(n-3)}=40
左辺は16で割り切れるが右辺は40=16*2+8となって16では割り切れないので矛盾。

(2)
x^3-18x^2-38x-40にx=20を代入すると
20^3-18*20^2-38*20-40=0となるので
x^3-18x^2-38x-40=0はx=20を解にもつ
よってx^3-18x^2-38x-40は
x^3-18x^2-38x-40=(x-20)(x^2+2x+2)=0
x^2+2x+2=0の解は、解の公式より
x=-1±i(ただしiは虚数単位)と書ける。
よってx^3-18x^2-38x-40=0の解は
x=20、-1±i(ただしiは虚数単位)となる。