質問＜１９８９＞２００４／１０／５
from=MiNaMiクン
「正四面体の過去問」

１辺の長さが１である正四面体ABCDを考える。
辺BC上の任意の点をPとし、BP＝ｘ、∠APD＝θとする。
以下の問に答えよ。
（１）線分DPの長さをｘを用いて表せ。
（２）ｃosθをｘを用いて表せ。
（３）６０゜≦θ＜７５゜であることを証明せよ。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１０／６
from=wakky

（１）
△ＤＢＰについて、余弦定理より
ＤＰ^2＝ＤＢ^2＋ＢＰ^2－２・ＤＢ・ＢＰ・ｃｏｓ６０°
　　　＝１＋ｘ^2－ｘ
よって
ＤＰ^2＝ｘ^2－ｘ＋１
ｘ^2－ｘ＋１＝｛（ｘ－（１／２）｝^2＋３／４＞０より
ＤＰ＝√（ｘ^2－ｘ＋１）・・・（答）

（２）
△ＰＡＤは　ＰＡ＝ＰＤ　の二等辺三角形だから
ＡＰ＝√（ｘ^2－ｘ＋１）

実際に確かめると
△ＡＢＰについて余弦定理より
ＡＰ^2＝ＡＢ^2＋ＢＰ^2－２・ＡＢ・ＢＰ・ｃｏｓ６０°
　　　＝ｘ^2－ｘ＋１
よって　ＡＰ＝√（ｘ^2－ｘ＋１）

ここで△ＡＰＤについて余弦定理より

　　　　　ＡＰ^2＋ＤＰ^2－ＡＤ^2
ｃｏｓθ＝-----------------------
　　　　　　２・ＡＰ・ＤＰ

       ＝１－【１／｛２（ｘ^2－ｘ＋１）｝】・・（答）

（３）
ｆ（ｘ）＝ｘ^2－ｘ＋１　とおくと
ｆ（ｘ）＝｛（ｘ－（１／２）｝^2＋３／４
正四面体の一辺の長さは１だから　０≦ｘ≦１
この範囲で二次関数ｆ（ｘ）の取りうる範囲は
３／４≦ｆ（ｘ）≦１（これは自分で確かめてください）
これの逆数をとり（不等号の向きが変わります）
－１をかけて（さらに不等号の向きが変わります）
辺々を２で割って、さらに辺々に１を加えると
１／３≦１－１／｛２ｆ（ｘ）｝≦１／２
つまり
１／３≦ｃｏｓθ≦１／２
ｃｏｓ６０°＝１／２
ｃｏｓ７５°＝ｃｏｓ（４５°＋３０°）
　　　　　　＝（√６－√２）／４
（√６－√２）／４＜１／３≦ｃｏｓθ≦１／２　だから
６０°≦θ＜７５°　　（証明終わり）