質問＜１９３６＞２００４／９／６
曲線f(x,y)=x^2*y-x*y^2-2=0のグラフを書け。 どこから手をつけていいかわかりません。 どなたか教えてください。 ★希望★完全解答★
お便り２００４／９／９
from=wakky
思いついたことだけ書かせて頂きます。 x^2*y-x*y^2-2=0をｙについての二次方程式と見て ｙ＝・・・・の形に強引ですけどしてみてはどうかなぁ？ 二次方程式の解の公式をつかって途中までやってみましたけど なんかすっきりしません・・・・
お便り２００４／９／１２
from=mama
y=・・・・で強引に解こうと思ったのですが うまい具合に解けません。 どなたか教えていただけませんか？
お便り２００４／９／２６
from=naoya
感想：難しくない、でも計算にかなり時間がかかりました･･･
計算式が面倒なので多数の計算を省略します。
ご自分で一度計算はやってみてください。
問 f(x,y)=yx^2-xy^2-2=0 のグラフをかけ.
式をyの関数と見ると,
-xy^2+(x^2)y-2=0. ･･･①
①式にx=0を代入すると-2=0となり矛盾するから,
x≠0. ･･･②
yは実数(じゃ無いと高校生の自分はグラフかけない)なので,①式において,
(判別式)=x^4-8x≧0 ⇔ (計算略) ⇔ x≦0, 2≦x.
②より, x＜0, 2≦x. ･･･③
①を解の公式で解くと,
y=(計算略)=x{1±√[1-8/(x^3)]}/2
となる.
(i) y=x{1+√[1-8/(x^3)]}/2 について.
xについて微分すると,
dy/dx=(計算略)=1/2+{2+8/(x^3)}/{4√[1-8/(x^3)]}.
8/(x^3)=t とおくと(t≠0), ③ ⇔ (計算略) ⇔ t＜0, 0≦t≦1. (t≠0)
ゆえに, t＜0, 0＜t≦1 ･･･④
∴dy/dx=1/2+(2+t)/{4√[1-t]}.
dy/dx=0 ⇔ 2√[1-t]+2+t=0. (計算略) ∴t=0,-8. 適するのは, t=-8.
(y=2√[1-t]のグラフとy=2+tのグラフを考えることによりdy/dxの符号が分かる.)
t＜-8のとき dy/dx＜0,
t=-8のとき dy/dx=0,
-8＜t＜0, 0＜t＜1のとき dy/dx＞0,
t=1のとき dy/dxは存在しない.
(t＜-8などといったtの範囲をt=8/(x^3)におき直してxの範囲に直すと)
x＜-1のとき dy/dx＞0,
x=-1のとき dy/dx=0,
-1＜x＜0のとき dy/dx＜0,
x=2のとき dy/dxは存在しない,
2＜xのとき dy/dx＞0.
8=tx^3より, 0=(dt/dx)x^3+3tx^2.
∴dt/dx=(計算略)=-3t^(4/3)/2.
d^2y/dx^2=(計算略)=(dt/dx)(4-t)/{8(1-t)^(3/2)}.
(dt/dx＜0だから,y=4-t,y=1-tのグラフを考えるとd^2y/dx^2の符号が分かる.)
t＜0, 0＜t＜1のとき d^2y/dx^2＜0,
t=1のとき d^2y/dx^1は存在しない.
(xの範囲に直すと)
x＜0, 2＜xのとき d^2y/dx^2＜0,
t=2のとき d^2y/dx^2は存在しない.
(次にがんばって極限を求める.)
y→+∞ (x→+∞), y→-∞ (x→-∞), y→-∞ (x→-0)
(さらに漸近線を求めにいく.)
先ほど求めた極限より、x=0が漸近線.
y/x→1 (x→±∞), y-x→0 (x→±∞)より、y=xが漸近線.
(ii) y=x{1-√[1-8/(x^3)]}/2 について.
xについて微分すると,
dy/dx=(計算略)=1/2-{2+8/(x^3)}/{4√[1-8/(x^3)]}
=1/2-(2+t)/{4√[1-t]}.
(y=2√[1-t]のグラフとy=-2-tのグラフを考えることに
よりdy/dxの符号が分かる.)
t＜0のとき dy/dx＞0,
0＜t＜1のとき dy/dx＜0,
t=1のとき dy/dxは存在しない.
(xの範囲に直すと)
x＜0のとき dy/dx＞0,
x＞2のとき dy/dx＜0,
x=2のとき dy/dxは存在しない.
d^2y/dx^2=(計算略)=-(dt/dx)(4-t)/{8(1-t)^(3/2)}.
(-dt/dx＞0だから,y=4-t,y=1-tのグラフを考えるとd^2y/dx^2の符号が分かる.)
t＜0, 0＜t＜1のとき d^2y/dx^2＞0,
t=1のとき d^2y/dx^1は存在しない.
(xの範囲に直すと)
x＜0, 2＜xのとき d^2y/dx^2＞0,
t=2のとき d^2y/dx^2は存在しない.
(極限を求める.)
y→0 (x→±∞), y→+∞ (x→-0)
ゆえに、漸近線はy=0, x=0
(i),(ii)を参考に、グラフを描く.
(グラフ略)
x=2におけるグラフの接続点で接線が引けるような接続の仕方なのか
どうかは①をxについて解いて微分してみると分かりますが、
そこまでしなくても良いでしょう。